【數據結構】跳錶

寫在前面的話

跳錶實際上是一種非常好使的數據結構，但由於用的人比較少，所以在OI競賽中並不常用，但其效率是很高的。想要深入研究的同學可以研究：

• 《讓算法的效率“跳起來”！ 》—— 魏冉
• 《線段跳錶——跳錶的一個拓展》——李驥揚
  這兩位大神的論文

跳錶的定義

• 跳錶的每一層都是一個鏈表
• 每一條鏈表的兩端必須是−∞ 和+∞
• 每條鏈的元素必須包含於序數較低的鏈的元素集合
  下圖是一個鏈表
  

跳錶的搜索操作

跳錶的普通搜索操作

設當前結點爲u ，待搜索的數爲t
跳錶的搜索過程如下：
- 如果u=t ，搜索結束，當前位置即爲搜索結果
- 如果u 的右結點不大於t ，則向右移動至右結點
- 如果u 的右結點大於t ，且存在下一層，則向下移動至下一層對應結點
- 如果u 的右結點大於t ，且不存在下一層，則搜索結束，無結果
舉一個例子：在上圖中的跳錶中搜索6

跳錶的記憶化搜索操作

跳錶的記憶化搜索就是在普通搜索的基礎上，提取出上一次搜索的每一層的最後一個結點，比如講上述搜索例子中提取可以得到：

其中橙色結點爲每一層的末端。
之後我們找到第一個小於待搜索元素的末端結點，從該結點開始搜索，例如搜索 5 這個元素：
首先找到起始結點：

然後搜索：

這種搜索方式在前後搜索數據有關聯的時候尤爲管用

跳錶的插入操作

跳錶的插入分爲三步：
- 搜索待插入元素
- 在搜索結束的地方插入
- 由隨機決策模塊決定新元素的層數，並向上加層
例如在下圖鏈表中添加元素15：

搜索後得到待插入元素的位置：

插入後運行隨即決策模塊得到層數，比如說是3層，則需要向上增加層數：

於是我們就成功地將15插入到了這個跳錶之中。

然後我們來看隨即決策模塊
給定一個常數P

H <- 0
While True
    R <- random(0~1)
    If R < P Then 
        H++
    Else Do
        Break
End

在這個隨機決策模塊中，我們是從H層按P的概率向上增加層數，所以很容易得到一個性質：

對於一個元素，它所在列的高度大於等於k 的概率爲Pk−1

這個重要的性質將會在分析複雜度的時候反覆用到。

跳錶的刪除操作

刪除操作就是先查找，找到後刪掉，舉個例子，在下圖的跳錶中刪除元素9：