前言
17年網易筆試有一道編程題目《跳石板》，newcoder OJ鏈接如下：
跳石板-牛客網
題目描述如下：
小易來到了一條石板路前，每塊石板上從1挨着編號爲：1、2、3…….
這條石板路要根據特殊的規則才能前進：對於小易當前所在的編號爲K的 石板，小易單次只能往前跳K的一個約數(不含1和K)步，即跳到K+X(X爲K的一個非1和本身的約數)的位置。 小易當前處在編號爲N的石板，他想跳到編號恰好爲M的石板去，小易想知道最少需要跳躍幾次可以到達。
例如：
N = 4，M = 24：
4->6->8->12->18->24
於是小易最少需要跳躍5次，就可以從4號石板跳到24號石板
沒有實戰過圖搜索的題，考試中沒啥思路，下來趕緊看看了解答，隨後總結爲此文。
廣度優先搜索
Breadth First Search （BFS）是一種圖搜索算法，BFS首先從源定點s開始，沿着s節點的寬度遍歷節點，當所有跟s節點臨接的節點都被訪問過以後，再繼續向下一層訪問。
如下圖所示
遍歷順序即爲：1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12
想法一
首先最樸素的想法就是枚舉N的所有約數（除了1和其本身），然後將所有約數與X的和作爲N的子孫，構建一棵樹以後，第一個值等於M的葉子節點的深度，即爲最小跳躍次數。
節點可以通過一個類來定義，比如：
class Node{
int val;
Node parent;
}或者
class Node{
int val;
int depth;
}這樣通過一個隊列Q一步步廣搜即可，但是實現想法以後，不論如何增加限制條件都Timeout，當M大於1000以後就基本上GG了，速度非常非常慢，爲什麼呢？OK，我們換個思路，繼續。
想法二
既然簡單的使用構建搜索樹的方法行不通，我們換個思路。既然是廣度搜索，每次遍歷一層，那麼我們就嘗試每次循環記錄一層的數字進行計算。
1、聲明一個List curr存儲一層節點，通過約數，計算下一層節點（比如一開始List只有一個數字N=4，通過計算約數，下一層就是有一個數字4+2=6）。
2、通過一個臨時List tmp來存儲計算的加過約數的和。
3、下一個循環用tmp替換curr。
類似於一下結構
List curr = new ArrayList<>();
curr.add(N);
while(flag){
List tmp = new ArrayList<>();
tmp.add(所有求得的約數);
curr = tmp;
}這時輸出每一次循環的curr發現，每一層有很多重複數值的節點，顯然這些重複數值的節點再次計算是很浪費時間的。比如：
從n=4開始，第三層：
[8, 9, 8]
這就有兩個8，那麼這兩個8繼續分別向下計算，顯然重複，因此可以合併一層中所有重複的值。
[8, 9]
OK，讓我們上傳OJ運行試試看…Sad，仍然Timeout。這是爲什麼呢~
想法三
在想法二的基礎上，把M設置的大一些，不斷地輸出每一層的值就會發現，除了一層中可能出現的重複情況，各個層之間也會出現很多的相同值得節點，對呀，這就像題目中說的上樓梯，每一層樓梯都是固定的，到每一層階梯的最小值通過廣搜已經計算過了，再重複計算並沒有什麼用啊！這就回歸到了DP的思想了。
因此最終改良版本，只需定義一個合適大小的數組，這個數組大小大於M，初始值設置爲-1，表示沒有到過，對所有沒有到過的，只記錄一次首次到達的前進次數（層數）即可。隨後這個位置的兒子節點都無需再遍歷了！
OK，最終代碼如下，終於通過，感人，TAT
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
import java.util.Scanner;
public class Main {
public void run(){
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int m = sc.nextInt();
int[] dst = new int[2*m];
for(int i=0;i<dst.length;i++)
dst[i] = -1;
dst[n] = 0;
Queue<Integer> Q = new LinkedList<>();
Q.offer(n);
while(!Q.isEmpty()){
int x = Q.poll();
for(int i=2; i*i <= x ; i++){
if(x%i == 0){
if(x+i<= m && dst[x+i] == -1) {
Q.offer(x + i);
dst[x+i] = dst[x] + 1;
}
if(x+x/i <= m && dst[x+x/i] == -1){
Q.offer( x + x/i);
dst[x+ x/i] = dst[x] + 1;
}
}
}
}
System.out.println(dst[m]);
sc.close();
}
public static void main(String[] args){
new Main().run();
}
}約數的計算
通過上一節的程序我們可以看到，計算x的約數無需從1遍歷到x，而是隻需從1遍歷到sqrt(x)。
隨後，x的約數就是2~sqrt(x)之間的i，還有對應的x/i。
這樣就降低了搜索空間。
總結
1、算法複雜度太高，首先一點就是能不能減少無謂的重複計算？
2、減少重複計算的方式就是拿空間換時間，通過記錄來避免重複部分的計算。