Codeforces 551D GukiZ and Binary Operations

problem

題意

給定n,l,k,m，假設一個長度爲n的數組a，滿足a[i] < 2n ，並且有(a[1] and a[2])or(a[2] and a[3]) or ... (a[n-1] and a[n]) = k。問這樣子的數組的個數有多少，答案模m。

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思路

首先這道題我們要通過二進制位來計算。我們可以知道，對於每個位，可以獨立計算。然後我們就可以計算每個位是0的種數。設dpi是長度爲i的序列爲0的種數。可以推出，dp[i] ＝ dp[i-1] + dp[i-2]所以我們用矩陣快速冪去求出斐波那契數列的值，然後用一下乘法原理即可。
寫題解的原因是求斐波那契數列可以不用寫矩陣快速冪。我們可以設f[n] = x * f[n -k ] + y * f[n - k -1]，對於k ＝ n/2時解出xy的值。這樣我們就可以遞歸的去求解f[n]，時間複雜度仍爲O(logn) 。

AC代碼

/*************************************************************************
    > File Name: pd.cpp
    > Author: znl1087
    > Mail: [email protected] 
    > Created Time: 六  6/20 09:11:46 2015
 ************************************************************************/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#define LL long long
using namespace std;
LL n,k,l,m;
LL pow2(LL x){
    if( x == 1) return 2%m;
    LL temp = pow2(x/2);
    temp = (temp * temp)%m;
    if( x & 1)temp = (temp * 2)%m;
    return temp;
}
map<LL,LL> F;

LL fib(LL n){
    if(F.count(n))return F[n];
    LL k = n/2;
    if(n % 2 == 0) return F[n] = ( fib(k) * fib(k) % m + fib(k-1) * fib(k-1) % m)%m;
    else return F[n] = (fib(k) * fib(k+1) % m + fib(k-1) * fib(k) % m)%m;
}
int main(){
    cin>>n>>k>>l>>m;
    if( m == 1 || k >= (1ULL << min(l,63ll)) ){
        cout<<0<<endl;
        return 0;
    }
    F[0] = 1,F[1] = 1;
    LL res = 1;
    LL tot = pow2(n),zero = fib(n+1);
    LL temp = (tot - zero + m)%m;
    //cout<<tot<<endl;
    for(int i=0;i<l;i++){
        if(k & 1)res = res * temp % m;
        else res = res * zero %m;
        k>>=1;
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}