[SGU 475] Be a Smart Raftsman

SGU 475

題解：
由於n≤10$n\le 10$ , 所以顯然的解法是狀態壓縮dp$dp$ , dp(i,mask)$dp(i,mask)$ 表示走到第i$i$ 個河岸，船上的人集合是mask$mask$ 的最少時間花費。
轉移方程：
dp(i,mask)=minmask′{dp(i−1,mask′)+trans(mask,mask′)+costi(mask)}$dp(i,mask)=mi{n}_{mas{k}^{\prime }}\{dp(i-1,mas{k}^{\prime })+trans(mask,mas{k}^{\prime })+cos{t}_i(mask)\}$
時間複雜度是O(22nm)$O(2^{2n}m)$ 的，如果常數寫的很小能夠AC。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define ULL ull
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define piii pair<int, pii >
#define pll pair <ll,ll>
#define pb push_back
#define big 20160116
#define INF 2147483647
#define pq priority_queue
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
namespace Mymath{
    LL qp(LL x,LL p,LL mod){
        LL ans=1;
        while (p){
            if (p&1) ans=ans*x%mod;
            x=x*x%mod;
            p>>=1;
        }
        return ans;
    }
    LL inv(LL x,LL mod){
        return qp(x,mod-2,mod);
    }
    LL C(LL N,LL K,LL fact[],LL mod){
        return fact[N]*inv(fact[K],mod)%mod*inv(fact[N-K],mod)%mod;
    }
    template <typename Tp> Tp gcd(Tp A,Tp B){
        if (B==0) return A;
        return gcd(B,A%B);
    }
    template <typename Tp> Tp lcm(Tp A,Tp B){
        return A*B/gcd(A,B);
    }
};
namespace fwt{
    using namespace Mymath;
    void FWT(int a[],int n,LL mod)
    {
        for(int d=1;d<n;d<<=1)
            for(int m=d<<1,i=0;i<n;i+=m)
                for(int j=0;j<d;j++)
                {
                    int x=a[i+j],y=a[i+j+d];
                    a[i+j]=(x+y)%mod,a[i+j+d]=(x-y+mod)%mod;
                    //xor:a[i+j]=x+y,a[i+j+d]=x-y;
                    //and:a[i+j]=x+y;
                    //or:a[i+j+d]=x+y;
                }
    }

    void UFWT(int a[],int n,LL mod)
    {
        LL rev=inv(2,mod);
        for(int d=1;d<n;d<<=1)
            for(int m=d<<1,i=0;i<n;i+=m)
                for(int j=0;j<d;j++)
                {
                    int x=a[i+j],y=a[i+j+d];
                    a[i+j]=1LL*(x+y)*rev%mod,a[i+j+d]=(1LL*(x-y)*rev%mod+mod)%mod;
                    //xor:a[i+j]=(x+y)/2,a[i+j+d]=(x-y)/2;
                    //and:a[i+j]=x-y;
                    //or:a[i+j+d]=y-x;
                }
    }
    void solve(int a[],int b[],int n,LL mod)
    {
        FWT(a,n,mod);
        FWT(b,n,mod);
        for(int i=0;i<n;i++) a[i]=1LL*a[i]*b[i]%mod;
        UFWT(a,n,mod);
    }
};
const int Maxn=1035;
int dp[Maxn][Maxn];
int w[Maxn],t[Maxn],s[Maxn];
int c[Maxn],d[Maxn],D[Maxn];
int W[Maxn];
int n,m;
void R(int i){
    for (int j=0;j<n;j++){
        for (int mask=0;mask<(1<<n);mask++){
            dp[i][mask^(1<<j)]=min(dp[i][mask^(1<<j)],dp[i][mask]+s[j]);
        }
    }
}
int C[Maxn],S[Maxn];
int main(){
    //int n,m;
    n=read();m=read();
    for (int i=0;i<n;i++){
        w[i]=read();t[i]=read();s[i]=read();
    }
    for(int i=0;i<(1<<n);i++){
        for (int j=0;j<n;j++){
            if (i>>j&1) W[i]+=w[j],S[i]+=s[j];
        }
        //cout<<i<<' '<<W[i]<<endl;
    }
    for(int i=0;i<(1<<n);i++){
        for (int j=0;j<n;j++){
            if (i>>j&1) C[i]=max(C[i],t[j]);
        }
        //cout<<i<<' '<<W[i]<<endl;
    }
    for (int i=1;i<=m;i++){
        c[i]=read();D[i]=read();d[i]=read();
    }
    for (int i=0;i<Maxn;i++){
        for (int j=0;j<Maxn;j++){
            dp[i][j]=1e9;
        }
    }
    int Al=1<<n;
    Al--;
    //for (int i=0;i<1)
    dp[0][0]=0;
    int lim=1<<n;
    for (int i=1;i<=m;i++){
        int ii=i-1; 
        if (n>=3){
            for (register int j=0;j<lim;++j){
                for (register int k=0;k<lim;k+=2){
                    (dp[ii][j]+S[k^j]<dp[ii][k])?dp[ii][k]=dp[ii][j]+S[k^j]:1;
                    (dp[ii][j]+S[k^j^1]<dp[ii][k^1])?dp[ii][k^1]=dp[ii][j]+S[k^j^1]:1;
                }
            }
        }
        else{
            for (register int j=0;j<lim;++j){
                for (register int k=0;k<lim;++k){
                    if (dp[ii][j]+S[k^j]<dp[ii][k]) dp[ii][k]=dp[ii][j]+S[k^j];
                }
            }
        }
        for (int j=1;j<(1<<n);j++){
            if (W[j]>c[i]){
                //cerr<<j<<endl;
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+max(D[i],C[Al^j]);
            }
            else{
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+max(d[i],C[Al^j]);
            }
        }
    }
    int ii=m;
    for (register int j=0;j<lim;++j){
        for (register int k=0;k<lim;++k){
            if (dp[ii][j]+S[k^j]<dp[ii][k]) dp[ii][k]=dp[ii][j]+S[k^j];
        }
    }
    printf("%d\n",dp[m][0]);
    return 0;
}

考慮優化狀態轉移。
發現在每個河岸處第i$i$ 個人和第j$j$ 人的狀態改變是獨立的。
所以我們把每個人的狀態改變分開考慮，轉移的複雜度就變成O(n)$O(n)$ 了。
總時間複雜度O(2nnm)$O(2^{n}nm)$

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define ULL ull
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define piii pair<int, pii >
#define pll pair <ll,ll>
#define pb push_back
#define big 20160116
#define INF 2147483647
#define pq priority_queue
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
namespace Mymath{
    LL qp(LL x,LL p,LL mod){
        LL ans=1;
        while (p){
            if (p&1) ans=ans*x%mod;
            x=x*x%mod;
            p>>=1;
        }
        return ans;
    }
    LL inv(LL x,LL mod){
        return qp(x,mod-2,mod);
    }
    LL C(LL N,LL K,LL fact[],LL mod){
        return fact[N]*inv(fact[K],mod)%mod*inv(fact[N-K],mod)%mod;
    }
    template <typename Tp> Tp gcd(Tp A,Tp B){
        if (B==0) return A;
        return gcd(B,A%B);
    }
    template <typename Tp> Tp lcm(Tp A,Tp B){
        return A*B/gcd(A,B);
    }
};
namespace fwt{
    using namespace Mymath;
    void FWT(int a[],int n,LL mod)
    {
        for(int d=1;d<n;d<<=1)
            for(int m=d<<1,i=0;i<n;i+=m)
                for(int j=0;j<d;j++)
                {
                    int x=a[i+j],y=a[i+j+d];
                    a[i+j]=(x+y)%mod,a[i+j+d]=(x-y+mod)%mod;
                    //xor:a[i+j]=x+y,a[i+j+d]=x-y;
                    //and:a[i+j]=x+y;
                    //or:a[i+j+d]=x+y;
                }
    }

    void UFWT(int a[],int n,LL mod)
    {
        LL rev=inv(2,mod);
        for(int d=1;d<n;d<<=1)
            for(int m=d<<1,i=0;i<n;i+=m)
                for(int j=0;j<d;j++)
                {
                    int x=a[i+j],y=a[i+j+d];
                    a[i+j]=1LL*(x+y)*rev%mod,a[i+j+d]=(1LL*(x-y)*rev%mod+mod)%mod;
                    //xor:a[i+j]=(x+y)/2,a[i+j+d]=(x-y)/2;
                    //and:a[i+j]=x-y;
                    //or:a[i+j+d]=y-x;
                }
    }
    void solve(int a[],int b[],int n,LL mod)
    {
        FWT(a,n,mod);
        FWT(b,n,mod);
        for(int i=0;i<n;i++) a[i]=1LL*a[i]*b[i]%mod;
        UFWT(a,n,mod);
    }
};
const int Maxn=1035;
int dp[Maxn][Maxn];
int w[Maxn],t[Maxn],s[Maxn];
int c[Maxn],d[Maxn],D[Maxn];
int W[Maxn];
int n,m;
void R(int i){
    for (int j=0;j<n;j++){
        for (int mask=0;mask<(1<<n);mask++){
            dp[i][mask^(1<<j)]=min(dp[i][mask^(1<<j)],dp[i][mask]+s[j]);
        }
    }
}
int C[Maxn];
int main(){
    //int n,m;
    n=read();m=read();
    for (int i=0;i<n;i++){
        w[i]=read();t[i]=read();s[i]=read();
    }
    for(int i=0;i<(1<<n);i++){
        for (int j=0;j<n;j++){
            if (i>>j&1) W[i]+=w[j];
        }
        //cout<<i<<' '<<W[i]<<endl;
    }
    for(int i=0;i<(1<<n);i++){
        for (int j=0;j<n;j++){
            if (i>>j&1) C[i]=max(C[i],t[j]);
        }
        //cout<<i<<' '<<W[i]<<endl;
    }
    for (int i=1;i<=m;i++){
        c[i]=read();D[i]=read();d[i]=read();
    }
    for (int i=0;i<Maxn;i++){
        for (int j=0;j<Maxn;j++){
            dp[i][j]=1e9;
        }
    }
    int Al=1<<n;
    Al--;
    //for (int i=0;i<1)
    dp[0][0]=0;
    for (int i=1;i<=m;i++){
        R(i-1);
        //dp[i-1][0]=1e9;
        //for (int j=0;j<(1<<n);j++) cout<<dp[i-1][j]<<' ';
        //cout<<endl;
        for (int j=1;j<(1<<n);j++){
            if (W[j]>c[i]){
                //cerr<<j<<endl;
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+max(D[i],C[Al^j]);
            }
            else{
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+max(d[i],C[Al^j]);
            }
        }
    }
    R(m);
    printf("%d\n",dp[m][0]);
    return 0;