你是否也對非線性優化這個領域望而卻步？
你是否也在思索非線性優化求解方法的根源？
你是否也苦惱於非線性優化到底在研究什麼？
如果你的回答是肯定的，說明我們是一樣的。那麼，讓我們從這裏開始，一起嘗試去移走上面的三座大山。
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1.非線性優化真的那麼難？
其實，在上高中的時候我們就已經對非線性優化的求解方法瞭然於心了。可見，非線性優化並不是我們想的那麼困難，只不過在後來由於學習了大量的新知識，而迷失其中。你可能不相信，那麼讓我們一同回到高中的數學課上。數學老師給瞭如下的問題：
如何找到上面這個函數的最小值？相信你很快的就能想起上面這個問題的解法，並且求出上面這個函數的極值。而至此，我們已經解決了一個非線性優化的問題。爲什麼這麼說呢？請看下面的公式：
當這個公式中的f(x)是一個非線性函數的時候，上面的問題就是一個非線性優化的問題。也就是說，非線性優化問題是針對一個非線性函數求最值的問題。那麼，再讓我們回過頭看一看數學老師出的問題，這不就是一個非線性優化問題嗎？而且，求解方法也很簡單，就是對函數求導，再令導數爲零，我們就找到了極值點。可見，非線性優化並不是一個高不可攀的山峯。
那麼，我們是否可以對所有的非線性優化問題，都可以用上面的解法呢？很遺憾，對於很多情況，通過導數爲零求解析的求出極值點，是做不到的，如下式：
我們對x,y分別求偏導，得到：
我們很難直接的從上面的式子中，求出導數爲0的點。一方面，是因爲該函數已經不是初等函數。另一方面，是因爲增加了未知數（變量）的個數。我們重新寫一下公式（1），如下：
可見，這個函數是一個單變量的非線性函數，而且極值點只有一個。即使，增加x的冪次方，不過是增加了幾個極值點，我們還是可以通過之前的辦法，只不過將每個極值點的值都帶回方程，就可以找到整個函數上的最小值。無論，這個一維函數如何複雜，都可以畫在一個二維座標中，如下：
上圖中，極值點1和點3是最小值點，點2是最大值點，而點4既不是最大值點，也不是最小值點。通過比較我們知道，點3是全局最小值點，而點1是局部最小值點。
但是，如果再增加函數的變量個數會發生什麼呢？比如，只再增加一個變量y，此時函數變爲f(x,y)，而這個函數在x和y的方向上都有多個極值點。這時，我們還能將這個函數表示在三維座標系下，如下：
此時，極值點的分佈就比一維的情況複雜了許多。當變量個數繼續增加的時候，極值點的個數會成幾何倍增加，顯然也就無法通過求解出所有極值點再比較大小的方法，實現對問題的求解。
2.如何求解複雜的非線性優化問題？
上面的方法是一種比較貪心的解決方法，希望直接找到問題的解。俗話說，飯得一口一口吃，不能一口吃個胖子。這裏要注意的一點就是，雖然我們不能直接找到函數值爲零的點。但是，非線性函數的導數是存在的，也就可以計算出每一點的導數。也就是說，既然不能直接找到極值點，我們就應該一步一步的逐漸逼近函數的極值點。
我們將原問題找f(x)的最小值（此處x爲n維向量，不是一維的），變爲找到f（x+Δx)的最小值，再依此迭代多次，逼近f(x)的最小值。此時，x變爲已知，而未知是Δx的大小（當然也可以理解爲方向，因爲n維向量表示了一個方向）。也就是說，我們希望找到一個Δx，使得函數f（x+Δx）在點x處取得最小值。那麼，一個自然的想法就是將f(x+Δx)對Δx求導，再另f'(x+Δx)=0就可以找到Δx的值。然而，這其實又回到了上面說的問題，即求f'(x+Δx)=0和f'(x)=0是一樣不可求的。那麼怎麼辦呢？
這就要祭出一個大殺器——泰勒級數展開（有人稱爲線性化，其實不太準確。在一階泰勒的情況下卻是是線性的，但是如果加了高階則不是線性了。）
因爲，我們求的f(x+Δx)處於f(x)的鄰域中，所以就可以用泰勒級數在點x處展開，如下：
將上式對Δx求導，並令其等於0，得到：
因爲上式存在Δx的高階項，所以還是很難得到上式的解。不過，由於是在點x的鄰域內，因此我們可以忽略Δx的高階項。
（1）當我們只保留一階項的時候，得到如下式子：
上式中的J(x)在多維情況下，被稱爲雅可比矩陣，其實就是對f(x)求偏導。接着，一般書就會直接給出增量Δx的大小，如下：
這個過程其實不太好理解。因爲，如果從一維的角度理解，那麼此處的f'(x)只是一個斜率，按理說斜率的多少跟Δx的值是無關的，只要Δx值不要太大保證在鄰域內就可以。所以，直接得出上面的式子就感覺很詭異。
其實，換一個角度解釋上面的式子就很容易理解。這裏讓Δx等於負梯度，重點並不在於Δx的大小，而是規定了Δx的方向。其實，即使在1維裏，我們也可以這麼理解，Δx=-k，此處的k只用於提供方向，也就是正負號，而不代表走多遠。對於多維情況更是如此，因爲我們需要知道增量的方向，而方向是由Δx各維度大小決定的。其實，一個更清晰的表示應該是將梯度歸一化，然後再乘以一個步長係數，如下所示：
這個方法也就是我們經常聽到的——最速下降法。
（2）如果我們保留到二階項的時候，得到如下式子：
上式中的H(x)被稱爲Hessian矩陣，而且J(x)和H(x)在點x的值是已知的，所以上式是一個線性方程組。寫成矩陣形式如下：
Δx的值可以通過解這個方程得到，求解方法由很多，在此就不再贅述。這個方法，就叫做——牛頓法。
3.非線性優化到底在研究什麼？
說到這裏，你可能會疑惑，既然非線性優化好像通過上面的方法都可以求解，那麼爲什麼還有那麼多數學家在研究這個問題。或者說，是不是世間所有問題，都可以通過這個方法求解呢？要想回答這個問題，我們需要重新來審視一下上面的求解過程。
（1）其實這個過程有個重要的前提，那就是f(x)是連續可導。如果f（x）這個函數不可導，或者不可微呢？比如說，在SLAM中需要處理姿態估計的問題。而姿態是通過旋轉矩陣和平移向量表示的，這顯然是不連續的。但是，由於旋轉矩陣是一個李羣，那麼我們可以將其映射到其李代數上。而且，李代數是可以求導的。所以我們就還可以利用非線性優化的方法對姿態進行估計。也就是說對於不連續的函數，我們可以想辦法將其變得連續，從而繼續用這種方法。
（2）上面的解法求得的只是局部最優解，而不能確定是否是全局最優解。因爲，這種方法可以說是一種“近視眼”的方法，它只看到下一時刻，在鄰域內的最小值，而不能全局的尋找。所以，很容易陷入到局部最優中，或者說最終求出的最優值是跟初始位置極度相關的。即使初始值在同一個未知，也很有可能落入到兩個不同的局部最優值中，也就是說這個解是很不穩定的。所以，如何解決這個問題，至今仍然存在很大的挑戰。
比如凸優化就可以在一定程度上解決這個問題。凸優化的思想是，如果局部最優就是全局最優，就不存在這個問題了。那麼如何將一個非凸的問題轉換成凸的呢？或者什麼問題就是凸的，什麼是非凸的呢？
在此，只是粗淺的舉了兩個例子，其實非線性優化中存在的問題還有很多很多。而且我們在這裏只討論了無約束的情況，而優化問題真實情況往往是存在對變量的約束的。本文只是希望破除我們心中對非線性優化的恐懼，勇敢的邁進非線性優化這道大門。
本人也是半路出家，有很多不嚴謹的地方，希望大家多包涵，多指正，也歡迎大家在留言中多多交流。