動態規劃 矩陣鏈乘法

 

 

Description

給定n個矩陣｛A1,A2,…,An｝，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1,2 ,…,n-1。如何確定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依此次序計算矩陣連乘積需要的數乘次數最少。 

Input

有N個矩陣連乘,用一行有n+1個數數組表示,表示是n個矩陣的行及第n個矩陣的列,它們之間用空格隔開. 

Output

你的輸出應該有C行，即每組測試數據的輸出佔一行，它是計算出的矩陣最少連乘積次數，輸出最優全括號結構

Sample Input

10 100 5 50

 

 

Sample Output

 

7500

((A1A2)A3)

 

 

分析：

 

矩陣鏈乘法問題描述：

 給定由n個矩陣構成的序列[A1，A2，...，An]，對乘積A1A2...An，找到最小化乘法次數的加括號方法。

 1）尋找最優子結構

此問題最難的地方在於找到最優子結構。對乘積A1A2...An的任意加括號方法都會將序列在某個地方分成兩部分，也就是最後一次乘法計算的地方，我們將這個位置記爲k，也就是說首先計算A1...Ak和Ak+1...An，然後再將這兩部分的結果相乘。

最優子結構如下：假設A1A2...An的一個最優加括號把乘積在Ak和Ak+1間分開，則前綴子鏈A1...Ak的加括號方式必定爲A1...Ak的一個最優加括號，後綴子鏈同理。

一開始並不知道k的確切位置，需要遍歷所有位置以保證找到合適的k來分割乘積。

 

2）構造遞歸解

設m[i,j]爲矩陣鏈Ai...Aj的最優解的代價，則

          ┌ 0    如果i = j

m[i,j] = │

          └ min(i≤k＜j) {m[i,k] + m[k+1,j] + Ai.row*Ak.col*Aj.col}  如果i ＜ j

 

 3）構建輔助表，解決重疊子問題

從第二步的遞歸式可以發現解的過程中會有很多重疊子問題，可以用一個nXn維的輔助表t[n][n]來保存子問題的解，表中每個元素包含2個信息，分別是最優乘積代價及其分割位置k 。

輔助表t[n][n]可以由2種方法構造，一種是自底向上填表構建，該方法要求按照遞增的方式逐步填寫子問題的解，也就是先計算長度爲2的所有矩陣鏈的解，然後計算長度3的矩陣鏈，直到長度n；另一種是自頂向下填表的備忘錄法，該方法將表的每個元素初始化爲某特殊值(本問題中可以將最優乘積代價設置爲一極大值)，以表示待計算，在遞歸的過程中逐個填入遇到的子問題的解。

備忘錄法會比自底向上法慢一個常數因子，因爲前者有遞歸調用的代價，維護表格的開銷也稍大。

 

 

 

#include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include <memory.h> #define N 6 void Print_OPTIMAL_PARENS(int s[N+1][N+1],int i,int j) //定義函數打印最優全括號的結果 { if(i==j) printf("A%d",i); else { printf("("); Print_OPTIMAL_PARENS(s,i,s[i][j]); //在分裂處進行遞歸調用 Print_OPTIMAL_PARENS(s,s[i][j]+1,j); printf(")"); } } int main() { int matrix[N+1]; //matrix中記錄矩陣的維數 int i,j,k,q; int m[N+1][N+1]; //m中記錄矩陣連乘的次數 int s[N+1][N+1]; //s[i][j]中記錄了對Ai...Aj進行分裂的最優的k值 for(i=0;i<=N;i++) scanf("%d",&matrix[i]); memset(m,0,(N+1)*(N+1)*sizeof(int)); for(j=1;j<=N;j++) for (i=j;i>=1;i--) //當i=j時,m[i][j]=0， { //當i<j時,m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+p(i-1)p(k)p(j)} i=<k<j if (j==i) m[i][j]=0; else { m[i][j]=600000; for (k=i;k<j;k++) { q=m[i][k]+m[k+1][j]+matrix[i-1]*matrix[k]*matrix[j]; if (q<m[i][j]) { m[i][j]=q; s[i][j]=k; } } } } printf("%d/n",m[1][N]); Print_OPTIMAL_PARENS(s,1,N); return 0; } 

另外一種實現最優矩陣鏈方式函數：

該函數採用自底向上方法進行計算

 

void MatrixChain() { int i, j, k, t; ////////此爲初始化底層，即一個矩陣的情況/////////// for(i = 1; i <= n; i++) m[i][i] = 0;//賦值爲0，是因爲1個矩陣需做0次相乘 for(int r = 2; r <= n; r++) {//計算r個矩陣連乘的情況 for(i = 1; i <= n - r + 1; i++) {//計算從i個矩陣開始的連續r個矩陣相乘的最少次數 j = i + r - 1;//A[i : j],連續r個矩陣 ////////////以下爲其中一種情況，斷開點i，即第一個矩陣獨立///////////////// m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j]; ////////////////開始尋找最優值/////////////////////// for(k = i + 1; k < j; k++) { t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j]; if( t < m[i][j]) m[i][j] = t; } } } }