任意多邊形的面積計算

任意給出一個三角形ΔABC，設其頂點座標分別爲A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3, y3），那麼根據線性代數的知識，ΔABC的有向面積可表示爲：

其中，ΔABC頂點A、B、C逆時針給出時有向面積爲正，順時針給出時有向面積爲負。如圖1所示，S∆ABC>0、S∆ABD<0.

圖1

我們知道任意的多邊形都可以分割成多個三角形，根據以上三角形面積公式就可以求出任意多邊形的面積。如圖2所示的六邊形頂點座標分別爲O（x0, y0），A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3, y3），D（x4, y4），E（x5, y5），則其面積可以表示爲四個三角形面積之和：S=S∆OAB+S∆OBC+S∆OCD+S∆ODE

其中：

所以

即

圖2

在這裏，前文給出的多邊形示例是一個凸多邊形，那麼這一結論適用於凹多邊形嗎？下面我們看看如圖3所示的凹多邊形。

圖3

按照上面的思路，這裏的凹多邊形面積表示爲：S=S∆OAB+S∆OBC+S∆OCD，從前面介紹可以知道

S∆OAB=-S∆OBA<0，所以很明顯上式是成立的，即此公式也適用於凹多邊形。

經過以上分析，給出任意一個多邊形，其頂點座標依次爲（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2），...，（xn，yn）（其中n=2，3，4，…），則其面積可表示爲：

換句話說，若已知多邊形邊上的每一點座標，我們就可以求出該多邊形的面積，包括如圖4所示的曲線圖形，當從O點到A點到O點的曲線上每一點座標都已知時就能求出該曲線圖的面積。

圖4

下面是代碼示例

<script>
    function square(x,y) {
//數組x,y分別按順序存儲各點的橫、縱座標值
        var sum0=0;
        for (var i = 0; i < x.length - 1; i++) {
            sum0 += (x[i] * y[i + 1] - x[i + 1] * y[i]);
        }
        var square = (Math.abs(sum0 + (x[i] * y[0]) - (x[0] * y[i]))) / 2;
        return square;
    }
</script>