劍指offer(43)：詳解1 ~n 整數中 1 出現的次數

本博客主要內容爲圖書《劍指offer》43 題的解題思路及代碼。方法可能還有不足之處，歡迎大家討論評論。

1. 題目描述

  輸入一個整數 n ，求出 1~n 這 n 個整數的十進制表示中 1 出現的次數。例如輸入 12，1 ~ 12 這些整數中包含 1 的數字有 1 ，10，11，12，“1 ”一種出現了 5 次。（注意其中 11 中 1 出現了兩次）

2. 解題思路

2.1 最高位爲 1 的情況

  對於某一個數字，如 1234 ，考慮 1~1234 中 1 一共出現了多少次的時候，可以進行如下分解：

1:1234=1:999+1000:1234$$1:1234=1:999+1000:1234$$

這個時候只需要分 1 : 999 和 1000 : 1234 兩步進行考慮就行。

  對於第一部分，我們可以觀察到一個比較強的規律。當數字是一位數的時候，數字的長度 length=1$length=1$ ，也就是說 1~9 只包含 1 個 1，即

f(length=1)=1$$f(length=1)=1$$

當數字是二位數的時候，數字的長度 length=2$length=2$ ，我們可以將 1~99在分解爲三個部分，即

1:99=1:9+10:19+20：99$$1:99=1:9+10:19+20：99$$

其中 1~9 的結果爲f(length)=1$f(length)=1$ ， 10~19 一共有十個數（二十個數字），其中十位都是1 ，有 10 個1；剩下 10個個位的情況是 0~9 中有多少個 1 ，這個情況與 1~9 的結果是相同的；20~99有 (9−2+1)$(9-2+1)$ 個1，即

f(length=2)=1+(10+1)+(9−2+1)$$f(length=2)=1+(10+1)+(9-2+1)$$

通過進行歸納可以得到下面的通式

f(length)=10n−1+10f(length−1)$$f(length)={10}^{n-1}+10f(length-1)$$

其中的 length 是對應數字的長度。

  對於第二部分，即 1000:1234$1000:1234$ ，其中最高位重複了 1234−1000+1$1234-1000+1$ 次，即n−10length−1+1$n-{10}^{length-1}+1$ ，然後考慮除了最高位剩下位(0~234)中 1 出現的次數，即計算g(n−10length−1)$g(n-{10}^{length-1})$ 。

  所以數字最高位爲 1 的情況的計算表達式如下：

g(n)=f(length−1)+（n−10length−1+1）+g(n−10length−1)$$g(n)=f(length-1)+（n-{10}^{length-1}+1）+g(n-{10}^{length-1})$$

其中的f(length)=10n−1+10f(length−1)$f(length)={10}^{n-1}+10f(length-1)$ ，n 是輸入的數字，length 是輸入數字的長度。

2.2 最高位>1 的情況

  對於某一個數字，如 4234 ，考慮 1~4234 中 1 一共出現了多少次的時候，可以分解如下的四個部分：

1:4234=1:999+1000:1999+2000:3999+4000:4234$$1:4234=1:999+1000:1999+2000:3999+4000:4234$$

其中 1:999 可以通過 f$f$ 計算得到；1000:1999 中最高位出現的次數爲 10length−1${10}^{length-1}$ ，而剩下的位數出現 1 的總次數爲 f(length−1)$f(length-1)$ ；2000:3999中最高位不會出現 1 ，剩下的位出現 1 的問題又變成了 1:999，即 (3−2+1)f(length−1)$(3-2+1)f(length-1)$ ，最後剩下 4000:4234 ，而這個問題等價爲 0:234 中有多少個 1 的問題，可以通過 g(n−a∗10length−1)$g(n-a\ast {10}^{length-1})$ 來解決。所以此時的通式爲

g(n)=10length−1+a∗f(length−1)+g(n−a∗10length−1)$$g(n)={10}^{length-1}+a\ast f(length-1)+g(n-a\ast {10}^{length-1})$$

其中的 a 是最高位的數字

2.3 情況總結

  所以計算這個問題的遞推公式如下：

g(n)={f(length−1)+（n−10length−1+1）+g(n−10length−1),10length−1+a∗f(length−1)+g(n−a∗10length−1),if 最高位爲1if 最高位非1$$g(n)=\{\begin{array}{ll}f(length-1)+（n-{10}^{length-1}+1）+g(n-{10}^{length-1}),& \text{if 最高位爲1}\\ {10}^{length-1}+a\ast f(length-1)+g(n-a\ast {10}^{length-1}),& \text{if 最高位非1}\end{array}$$

其中

f(length)=10n−1+10f(length−1)$$f(length)={10}^{n-1}+10f(length-1)$$

所以總體的思想就是，根據輸入數字的最高位對情況進行分類，之後帶入上面的遞推公式，進行遞歸操作。遞歸的停止條件爲剩下的數字的長度爲 1，如果剩下的數字是0返回0，否則返回1.

3. 代碼實現

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n):
        # 如果數字爲 0 則返回 0
        if not n:
            return 0

        # 將數字轉化爲字符串，得到數字的長度
        strN = str(n)
        length = len(strN)

        # 通過 f 函數計算遞推通式中的 f (length -1)
        mydicdictionary = self.dictionary(length-1)

        #如果長度爲 1 且不爲 0 話就返回 1 
        if length == 1:
            return 1

        # 求出當前數字的最高位數字
        temp = 10**(length-1)
        a = n//temp

        # 根據判斷結果執行遞推公式
        if n-temp >= temp:
            return temp + a*mydicdictionary + self.NumberOf1Between1AndN_Solution( n-a*temp)
        else:
            return mydicdictionary + n-temp + 1 +self.NumberOf1Between1AndN_Solution( n-temp)

    def dictionary(self,length):
        mydicdictionary = [0]
        for i in range(1 , length+1):
            result = 10**(i-1) + 10*mydicdictionary[i-1]
            mydicdictionary.append(result)
        return mydicdictionary.pop()