題目
Given an array nums containing n + 1 integers where each integer is between 1 and n (inclusive), prove that at least one duplicate number must exist. Assume that there is only one duplicate number, find the duplicate one.
Note:
- You must not modify the array (assume the array is read only).
- You must use only constant, O(1) extra space.
- Your runtime complexity should be less than O(n2).
- There is only one duplicate number in the array, but it could be repeated more than once.
分析
這個題是兩部分問題，第一部分的證明看起來比較直接，在數學上可以通過反證法證明。
第二部分是說現在有 n+1 個位置，放進去的數字都是從 1 到 n 的，但是存在一個重複的數字，其他的都不重複，讓用 O(1) 的空間複雜度和少於O(n2)的時間複雜度找出這個重複的數字。示例輸入輸出可能是
[2,3,1,2] -> 2
[2,2,1,2,2] -> 2
一個比較詳細的解答可以參考
https://segmentfault.com/a/1190000003817671
這裏我想解釋一下鏈接中的最後一個方法：映射找環法。代碼可以參考上述鏈接，這裏只是將其原理進行一個詳細的論述
可以先看一下上述鏈接中的解釋，這個算法的思路如下：
將數組中每個元素都看成鏈表中的一個節點，鏈表節點有兩個基本要素就是節點的值（val）和指向下一個節點的指針（next），我們假設這個數組表示成 array[], 某個節點的索引是 index，在這個算法所想象的鏈表中：
- 節點的值 val 就是數組在這個位置的值 array[index]
- 節點的指向想一個節點的指針 next 也是數組在這個位置的值 array[index]
舉個例子，數組 [2,3,1,2] 構成的鏈表如下圖所示
我們發現這個圖中出現了一個環，下面我們說明在給定的條件下，從數組的第0個元素出發，一定會進入一個環中，且這個環包含了重複的那個數字：
- 假設從第0個元素出發，最後沒進入環中（反證），這就說明由0出發的鏈表的尾節點的next是null
- 然而給定條件下，數組中每個元素的值都是1 - n之間的數字（同時根據之前的構造方法數組的值也就是其next指針），說明這個鏈表中不會出現指向null的節點
上面的1和2相互矛盾，說明從數組的第0個元素出發，一定會進入一個環中。
我們知道，指向環的入口元素（上例中的array[2]=1）的指針值（next）相同，而根據構next又等於節點的val，說明換入口元素的上一個節點就是重複的那個值。
事實上構造出來的圖中可能存在多個環，但由於題的條件限定了只可能有一個重複元素，所以其中只有一個環會帶着一個或多個“尾巴”，這個“尾巴”是進入環之前的部分。這個題的巧妙之處就在於數組中元素都在1-n之間，說明不會有節點的next值等於0，即array[0]一定是這樣的一個“尾巴”的頭部，而不會出現在環的內部。
這樣原問題就轉化爲了在單鏈表中找環入口的問題（重複的數字是環入口前一個節點），利用快慢指針的辦法可以很容易的寫出代碼（網上有很多資料，也可以看上文鏈接中的代碼）
總結一下上面的幾個關鍵點：
- 將數組看成一個鏈表，鏈表的 val 和 next 都是數組元素值
- 從第0個元素出發，必然會形成環
- 重複的數字節點在環的入口的前一個節點處
最後我想說的是，用數組表示鏈表或樹狀也是一種常見的辦法，效率很高，以前學數據結構的時候學到過但後來一直沒用過，可以看看 java 的 TImer 類的源代碼中最小堆是如何實現的。