1 2 5組合100，有多少種方法

問題描述：用隨意多個1 2 5三個數字的組合，使其值爲100，有多少種組合方法？

基礎解法：窮舉法，1窮舉100次，2窮舉50次，5窮舉20次，這種方法總共窮舉的次數爲100*50*20=100 000，性能太差，但是爲了以後描述問題，先給出窮舉法的代碼：

for(int i = 0; i <= 100; i += 5){
     for(int j = 0; j <= 100; j += 2){
        for(int k = 0; k <= 100; k++)
            if(i + j + k == 100)
                count++;
     }
}

 進階解法：通過對窮舉法進行考察，在窮舉的過程中j並不是每次都循環50次，而是隨着i的增加循環次數不斷減小，可以動態計算其循環次數爲(100 - i) / 2，對於1的循環次數爲可以動態計算爲(100 - i - j)，通過這個描述可以得到一個新的解法。

for(int i = 0; i <= 100; i += 5){
     for(int j = 0; j <= 100 - i; j += 2){
         for(int k = 0; k <= 100 - i - j; k++)
             if(i + j + k == 100)
                count++;
     }
}

 進一步優化：通過對上述算法的進一步分析，其實對1沒有必要循環，只要i+j <= 100肯定存在一種解法，也就是說1肯定能補全差值。因此對1的循環是沒有必要的。

for(int i = 0; i <= 100; i += 5){
     for(int j = 0; j <= 100 - i; j += 2){
         count++;
}

最優解法：通過對上述優化再進一步分析，對於2，是否有必要循環呢？其實我們只要知道100 - i對於2的倍數就行了，小於這個倍數100 - i - j可以用1來補全。因此可以有(100 - i) / 2種組合。考慮到i的個數可以爲0，因此應該用這個倍數加1。因此我們只需要20次循環就可以找到總的倍數了。算法如下：

for(int i = 0; i <= 100; i += 5){
     count += (100 - i + 2) / 2; //其也可以寫成count += ((100 - i) / 2 + 1)
}

其實通過這個小的編程題的一步步優化，我們已經在使用動態規劃的思想了，其思想的核心就是剪去一些不必要的計算，在進階解法中，我剪掉了不必要的循環次數，在進一步優化中我們剪掉了1的循環，最優解法中我們將對2的循環也剪掉了，形成了最好的解決辦法。