奇怪的數學——寫給自己，以防忘記

一、 組合數

C(m,n)表示m箇中選n個的方案數

C(m,n)=m!n!(m−n)!

1、 和楊輝三角的關係

C(i,0)=C(i,i)=1

C(i,j)=C(i−1,j−1)+C(i−1,j)

這就是楊輝三角：

  0 1 2 3 4
0|1
1|1 1
2|1 2 1
3|1 3 3 1
4|1 4 6 4 1
……

二、 逆元

對於a和模數p，若ax≡1(modp) ，則x是a的逆元。
有什麼用？當你要除以a時，你可以用乘x代替。因爲除法不能直接進行模運算。
舉個例子：
a=2 p=7
則x=4
當我們要算6/2 mod 7時，可以用6*4 mod 7來代替。

1、 快速冪求逆元

有一個奇怪的公式：

aφ(p)≡1(modp)

變形得：

a∗aφ(p)−1≡1(modp)

所以aφ(p)−1 即a的逆元。
當p爲質數時，φ(p)=p-1。模數常常是質數。所以ap−2 就是a的逆元（重複一遍，p爲質數時！）

三、 矩陣

加減不說，對應的加在一起好了。

1、 矩陣乘法

一張好圖，在這裏發現的，方便理解矩陣乘法。(這張圖是從0開始的，我們習慣從1開始)

一個m∗n 的的A矩陣，和一個n∗p 的B矩陣相乘，將得到一個m∗p 的矩陣C

C(i,j)=∑k=1pA(i,k)∗B(k,j)

可以簡單地理解爲，A中i行的元素，與B中j列的元素，對應相乘得到的和。

2、 矩陣乘法的運算定律

（1） 不滿足交換律

（2） 滿足結合律：(AB)C=A(BC)

（3） 滿足分配律：(A+B)C=AC+BC A(B+C)=AB+AC

四、其它奇怪東西

1、如果有互質數a,b，不能表示成ax+by 的數最大爲ab−a−b