概要
本章介紹AVL樹。和前面介紹"二叉查找樹"的流程一樣,本章先對AVL樹的理論知識進行簡單介紹,然後給出C語言的實現。本篇實現的二叉查找樹是C語言版的,後面章節再分別給出C++和Java版本的實現。
建議:若您對"二叉查找樹"不熟悉,建議先學完"二叉查找樹"再來學習AVL樹。
目錄
1. AVL樹的介紹
2. AVL樹的C實現
3. AVL樹的C實現(完整源碼)
4. AVL樹的C測試程序
轉載請註明出處:http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3576969.html
更多內容: 數據結構與算法系列 目錄
(01) AVL樹(一)之 圖文解析 和 C語言的實現
(02) AVL樹(二)之 C++的實現
(03) AVL樹(三)之 Java的實現
AVL樹的介紹
AVL樹是根據它的發明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis命名的。
它是最先發明的自平衡二叉查找樹,也被稱爲高度平衡樹。相比於"二叉查找樹",它的特點是:AVL樹中任何節點的兩個子樹的高度最大差別爲1。 (關於樹的高度等基本概念,請參考"二叉查找樹(一)之
圖文解析 和 C語言的實現 ")
上面的兩張圖片,左邊的是AVL樹,它的任何節點的兩個子樹的高度差別都<=1;而右邊的不是AVL樹,因爲7的兩顆子樹的高度相差爲2(以2爲根節點的樹的高度是3,而以8爲根節點的樹的高度是1)。
AVL樹的查找、插入和刪除在平均和最壞情況下都是O(logn)。
如果在AVL樹中插入或刪除節點後,使得高度之差大於1。此時,AVL樹的平衡狀態就被破壞,它就不再是一棵二叉樹;爲了讓它重新維持在一個平衡狀態,就需要對其進行旋轉處理。學AVL樹,重點的地方也就是它的旋轉算法;在後文的介紹中,再來對它進行詳細介紹。
AVL樹的C實現
1. 節點
1.1 定義
typedef int Type; typedef struct AVLTreeNode{ Type key; // 關鍵字(鍵值) int height; struct AVLTreeNode *left; // 左孩子 struct AVLTreeNode *right; // 右孩子 }Node, *AVLTree;
AVL樹的節點包括的幾個組成對象:
(01) key -- 是關鍵字,是用來對AVL樹的節點進行排序的。
(02) left -- 是左孩子。
(03) right -- 是右孩子。
(04) height -- 是高度。
1.2 節點的創建
/* * 創建AVL樹結點。 * * 參數說明: * key 是鍵值。 * left 是左孩子。 * right 是右孩子。 */ static Node* avltree_create_node(Type key, Node *left, Node* right) { Node* p; if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL) return NULL; p->key = key; p->height = 0; p->left = left; p->right = right; return p; }
1.3 樹的高度
#define HEIGHT(p) ( (p==NULL) ? 0 : (((Node *)(p))->height) ) /* * 獲取AVL樹的高度 */ int avltree_height(AVLTree tree) { return HEIGHT(tree); }
關於高度,有的文章中將"空二叉樹的高度定義爲-1",而本文采用維基百科上的定義:樹的高度爲最大層次。即空的二叉樹的高度是0,非空樹的高度等於它的最大層次(根的層次爲1,根的子節點爲第2層,依次類推)。
1.4 比較大小
#define MAX(a, b) ( (a) > (b) ? (a) : (b) )
2. 旋轉
前面說過,如果在AVL樹中進行插入或刪除節點後,可能導致AVL樹失去平衡。這種失去平衡的可以概括爲4種姿態:LL(左左),LR(左右),RR(右右)和RL(右左)。下面給出它們的示意圖:
上圖中的4棵樹都是"失去平衡的AVL樹",從左往右的情況依次是:LL、LR、RL、RR。除了上面的情況之外,還有其它的失去平衡的AVL樹,如下圖:
上面的兩張圖都是爲了便於理解,而列舉的關於"失去平衡的AVL樹"的例子。總的來說,AVL樹失去平衡時的情況一定是LL、LR、RL、RR這4種之一,它們都由各自的定義:
(1) LL:LeftLeft,也稱爲"左左"。插入或刪除一個節點後,根節點的左子樹的左子樹還有非空子節點,導致"根的左子樹的高度"比"根的右子樹的高度"大2,導致AVL樹失去了平衡。
例如,在上面LL情況中,由於"根節點(8)的左子樹(4)的左子樹(2)還有非空子節點",而"根節點(8)的右子樹(12)沒有子節點";導致"根節點(8)的左子樹(4)高度"比"根節點(8)的右子樹(12)"高2。
(2) LR:LeftRight,也稱爲"左右"。插入或刪除一個節點後,根節點的左子樹的右子樹還有非空子節點,導致"根的左子樹的高度"比"根的右子樹的高度"大2,導致AVL樹失去了平衡。
例如,在上面LR情況中,由於"根節點(8)的左子樹(4)的左子樹(6)還有非空子節點",而"根節點(8)的右子樹(12)沒有子節點";導致"根節點(8)的左子樹(4)高度"比"根節點(8)的右子樹(12)"高2。
(3) RL:RightLeft,稱爲"右左"。插入或刪除一個節點後,根節點的右子樹的左子樹還有非空子節點,導致"根的右子樹的高度"比"根的左子樹的高度"大2,導致AVL樹失去了平衡。
例如,在上面RL情況中,由於"根節點(8)的右子樹(12)的左子樹(10)還有非空子節點",而"根節點(8)的左子樹(4)沒有子節點";導致"根節點(8)的右子樹(12)高度"比"根節點(8)的左子樹(4)"高2。
(4) RR:RightRight,稱爲"右右"。插入或刪除一個節點後,根節點的右子樹的右子樹還有非空子節點,導致"根的右子樹的高度"比"根的左子樹的高度"大2,導致AVL樹失去了平衡。
例如,在上面RR情況中,由於"根節點(8)的右子樹(12)的右子樹(14)還有非空子節點",而"根節點(8)的左子樹(4)沒有子節點";導致"根節點(8)的右子樹(12)高度"比"根節點(8)的左子樹(4)"高2。
前面說過,如果在AVL樹中進行插入或刪除節點後,可能導致AVL樹失去平衡。AVL失去平衡之後,可以通過旋轉使其恢復平衡,下面分別介紹"LL(左左),LR(左右),RR(右右)和RL(右左)"這4種情況對應的旋轉方法。
2.1 LL的旋轉
LL失去平衡的情況,可以通過一次旋轉讓AVL樹恢復平衡。如下圖:
圖中左邊是旋轉之前的樹,右邊是旋轉之後的樹。從中可以發現,旋轉之後的樹又變成了AVL樹,而且該旋轉只需要一次即可完成。
對於LL旋轉,你可以這樣理解爲:LL旋轉是圍繞"失去平衡的AVL根節點"進行的,也就是節點k2;而且由於是LL情況,即左左情況,就用手抓着"左孩子,即k1"使勁搖。將k1變成根節點,k2變成k1的右子樹,"k1的右子樹"變成"k2的左子樹"。
LL的旋轉代碼
/* * LL:左左對應的情況(左單旋轉)。 * * 返回值:旋轉後的根節點 */ static Node* left_left_rotation(AVLTree k2) { AVLTree k1; k1 = k2->left; k2->left = k1->right; k1->right = k2; k2->height = MAX( HEIGHT(k2->left), HEIGHT(k2->right)) + 1; k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), k2->height) + 1; return k1; }
2.2 RR的旋轉
理解了LL之後,RR就相當容易理解了。RR是與LL對稱的情況!RR恢復平衡的旋轉方法如下:
圖中左邊是旋轉之前的樹,右邊是旋轉之後的樹。RR旋轉也只需要一次即可完成。
RR的旋轉代碼
/* * RR:右右對應的情況(右單旋轉)。 * * 返回值:旋轉後的根節點 */ static Node* right_right_rotation(AVLTree k1) { AVLTree k2; k2 = k1->right; k1->right = k2->left; k2->left = k1; k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), HEIGHT(k1->right)) + 1; k2->height = MAX( HEIGHT(k2->right), k1->height) + 1; return k2; }
2.3 LR的旋轉
LR失去平衡的情況,需要經過兩次旋轉才能讓AVL樹恢復平衡。如下圖:
第一次旋轉是圍繞"k1"進行的"RR旋轉",第二次是圍繞"k3"進行的"LL旋轉"。
LR的旋轉代碼
/* * LR:左右對應的情況(左雙旋轉)。 * * 返回值:旋轉後的根節點 */ static Node* left_right_rotation(AVLTree k3) { k3->left = right_right_rotation(k3->left); return left_left_rotation(k3); }
2.4 RL的旋轉
RL是與LR的對稱情況!RL恢復平衡的旋轉方法如下:
第一次旋轉是圍繞"k3"進行的"LL旋轉",第二次是圍繞"k1"進行的"RR旋轉"。
RL的旋轉代碼
/* * RL:右左對應的情況(右雙旋轉)。 * * 返回值:旋轉後的根節點 */ static Node* right_left_rotation(AVLTree k1) { k1->right = left_left_rotation(k1->right); return right_right_rotation(k1); }
3. 插入
插入節點的代碼
/* * 將結點插入到AVL樹中,並返回根節點 * * 參數說明: * tree AVL樹的根結點 * key 插入的結點的鍵值 * 返回值: * 根節點 */ Node* avltree_insert(AVLTree tree, Type key) { if (tree == NULL) { // 新建節點 tree = avltree_create_node(key, NULL, NULL); if (tree==NULL) { printf("ERROR: create avltree node failed!\n"); return NULL; } } else if (key < tree->key) // 應該將key插入到"tree的左子樹"的情況 { tree->left = avltree_insert(tree->left, key); // 插入節點後,若AVL樹失去平衡,則進行相應的調節。 if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2) { if (key < tree->left->key) tree = left_left_rotation(tree); else tree = left_right_rotation(tree); } } else if (key > tree->key) // 應該將key插入到"tree的右子樹"的情況 { tree->right = avltree_insert(tree->right, key); // 插入節點後,若AVL樹失去平衡,則進行相應的調節。 if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2) { if (key > tree->right->key) tree = right_right_rotation(tree); else tree = right_left_rotation(tree); } } else //key == tree->key) { printf("添加失敗:不允許添加相同的節點!\n"); } tree->height = MAX( HEIGHT(tree->left), HEIGHT(tree->right)) + 1; return tree; }
4. 刪除
刪除節點的代碼
/* * 刪除結點(z),返回根節點 * * 參數說明: * ptree AVL樹的根結點 * z 待刪除的結點 * 返回值: * 根節點 */ static Node* delete_node(AVLTree tree, Node *z) { // 根爲空 或者 沒有要刪除的節點,直接返回NULL。 if (tree==NULL || z==NULL) return NULL; if (z->key < tree->key) // 待刪除的節點在"tree的左子樹"中 { tree->left = delete_node(tree->left, z); // 刪除節點後,若AVL樹失去平衡,則進行相應的調節。 if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2) { Node *r = tree->right; if (HEIGHT(r->left) > HEIGHT(r->right)) tree = right_left_rotation(tree); else tree = right_right_rotation(tree); } } else if (z->key > tree->key)// 待刪除的節點在"tree的右子樹"中 { tree->right = delete_node(tree->right, z); // 刪除節點後,若AVL樹失去平衡,則進行相應的調節。 if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2) { Node *l = tree->left; if (HEIGHT(l->right) > HEIGHT(l->left)) tree = left_right_rotation(tree); else tree = left_left_rotation(tree); } } else // tree是對應要刪除的節點。 { // tree的左右孩子都非空 if ((tree->left) && (tree->right)) { if (HEIGHT(tree->left) > HEIGHT(tree->right)) { // 如果tree的左子樹比右子樹高; // 則(01)找出tree的左子樹中的最大節點 // (02)將該最大節點的值賦值給tree。 // (03)刪除該最大節點。 // 這類似於用"tree的左子樹中最大節點"做"tree"的替身; // 採用這種方式的好處是:刪除"tree的左子樹中最大節點"之後,AVL樹仍然是平衡的。 Node *max = avltree_maximum(tree->left); tree->key = max->key; tree->left = delete_node(tree->left, max); } else { // 如果tree的左子樹不比右子樹高(即它們相等,或右子樹比左子樹高1) // 則(01)找出tree的右子樹中的最小節點 // (02)將該最小節點的值賦值給tree。 // (03)刪除該最小節點。 // 這類似於用"tree的右子樹中最小節點"做"tree"的替身; // 採用這種方式的好處是:刪除"tree的右子樹中最小節點"之後,AVL樹仍然是平衡的。 Node *min = avltree_maximum(tree->right); tree->key = min->key; tree->right = delete_node(tree->right, min); } } else { Node *tmp = tree; tree = tree->left ? tree->left : tree->right; free(tmp); } } return tree; } /* * 刪除結點(key是節點值),返回根節點 * * 參數說明: * tree AVL樹的根結點 * key 待刪除的結點的鍵值 * 返回值: * 根節點 */ Node* avltree_delete(AVLTree tree, Type key) { Node *z; if ((z = avltree_search(tree, key)) != NULL) tree = delete_node(tree, z); return tree; }
注意:關於AVL樹的"前序遍歷"、"中序遍歷"、"後序遍歷"、"最大值"、"最小值"、"查找"、"打印"、"銷燬"等接口與"二叉查找樹"基本一樣,這些操作在"二叉查找樹"中已經介紹過了,這裏就不再單獨介紹了。當然,後文給出的AVL樹的完整源碼中,有給出這些API的實現代碼。這些接口很簡單,Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)!
AVL樹的測試程序(avltree_test.c)
1 /** 2 * C 語言: AVL樹 3 * 4 * @author skywang 5 * @date 2013/11/07 6 */ 7 #include <stdio.h> 8 #include "avltree.h" 9 10 static int arr[]= {3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9}; 11 #define TBL_SIZE(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) ) 12 13 void main() 14 { 15 int i,ilen; 16 AVLTree root=NULL; 17 18 printf("== 高度: %d\n", avltree_height(root)); 19 printf("== 依次添加: "); 20 ilen = TBL_SIZE(arr); 21 for(i=0; i<ilen; i++) 22 { 23 printf("%d ", arr[i]); 24 root = avltree_insert(root, arr[i]); 25 } 26 27 printf("\n== 前序遍歷: "); 28 preorder_avltree(root); 29 30 printf("\n== 中序遍歷: "); 31 inorder_avltree(root); 32 33 printf("\n== 後序遍歷: "); 34 postorder_avltree(root); 35 printf("\n"); 36 37 printf("== 高度: %d\n", avltree_height(root)); 38 printf("== 最小值: %d\n", avltree_minimum(root)->key); 39 printf("== 最大值: %d\n", avltree_maximum(root)->key); 40 printf("== 樹的詳細信息: \n"); 41 print_avltree(root, root->key, 0); 42 43 44 i = 8; 45 printf("\n== 刪除根節點: %d", i); 46 root = avltree_delete(root, i); 47 48 printf("\n== 高度: %d", avltree_height(root)); 49 printf("\n== 中序遍歷: "); 50 inorder_avltree(root); 51 printf("\n== 樹的詳細信息: \n"); 52 print_avltree(root, root->key, 0); 53 54 // 銷燬二叉樹 55 destroy_avltree(root); 56 }
下面,我們對測試程序的流程進行分析!
1. 新建AVL樹
新建AVL樹的根節點root。
2. 依次添加"3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9" 到AVL樹中,過程如下。
2.01 添加3,2
添加3,2都不會破壞AVL樹的平衡性。
2.02 添加1
添加1之後,AVL樹失去平衡(LL),此時需要對AVL樹進行旋轉(LL旋轉)。旋轉過程如下:
2.03 添加4
添加4不會破壞AVL樹的平衡性。
2.04 添加5
添加5之後,AVL樹失去平衡(RR),此時需要對AVL樹進行旋轉(RR旋轉)。旋轉過程如下:
2.05 添加6
添加6之後,AVL樹失去平衡(RR),此時需要對AVL樹進行旋轉(RR旋轉)。旋轉過程如下:
2.06 添加7
添加7之後,AVL樹失去平衡(RR),此時需要對AVL樹進行旋轉(RR旋轉)。旋轉過程如下:
2.07 添加16
添加16不會破壞AVL樹的平衡性。
2.08 添加15
添加15之後,AVL樹失去平衡(RR),此時需要對AVL樹進行旋轉(RR旋轉)。旋轉過程如下:
2.09 添加14
添加14之後,AVL樹失去平衡(RL),此時需要對AVL樹進行旋轉(RL旋轉)。旋轉過程如下:
2.10 添加13
添加13之後,AVL樹失去平衡(RR),此時需要對AVL樹進行旋轉(RR旋轉)。旋轉過程如下:
2.11 添加12
添加12之後,AVL樹失去平衡(LL),此時需要對AVL樹進行旋轉(LL旋轉)。旋轉過程如下:
2.12 添加11
添加11之後,AVL樹失去平衡(LL),此時需要對AVL樹進行旋轉(LL旋轉)。旋轉過程如下:
2.13 添加10
添加10之後,AVL樹失去平衡(LL),此時需要對AVL樹進行旋轉(LL旋轉)。旋轉過程如下:
2.14 添加8
添加8不會破壞AVL樹的平衡性。
2.15 添加9
但是添加9之後,AVL樹失去平衡(LR),此時需要對AVL樹進行旋轉(LR旋轉)。旋轉過程如下:
3. 打印樹的信息
輸出下面樹的信息:
前序遍歷: 7 4 2 1 3 6 5 13 11 9 8 10 12 15 14 16
中序遍歷: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
後序遍歷: 1 3 2 5 6 4 8 10 9 12 11 14 16 15 13 7
高度: 5
最小值: 1
最大值: 16
4. 刪除節點8
刪除操作並不會造成AVL樹的不平衡。
刪除節點8之後,在打印該AVL樹的信息。
高度: 5
中序遍歷: 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16