動態規劃入門

（1）用 DP 做的題大多數返回值是int/boolean, 求max/min，不能打亂原來輸入順序。

（2）動態規劃有兩個重要定義，一個叫 "optimal substructure"，另一個叫 "overlap subproblem".

各種排序 / Tree 類問題中，都會用到 divide & conquer 的思想，去把問題分成若干個 "disjoint" subproblems，然後遞歸解決。

"Disjoint" subproblem 在 Tree 類問題上體現的最爲明顯，左子樹是左子樹的問題，右子樹是右子樹的問題。因此 Tree 類問題上，更多的是解決“disjoint subproblem 的整合” 還有 “非連續 subproblem 的處理”。

而動態規劃的中心思想是，面對 search tree 裏都是 "overlap subproblem"，如何根據問題結構制定緩存策略，避免重疊問題重複計算。

(3) 根據CLRS，動態規劃分爲兩種：

• top-down with memoization (遞歸記憶化搜索)

  • 等價於帶緩存的，搜索樹上的 DFS

  • 比較貼近於新問題正常的思考習慣

• bottom-up (自底向上循環迭代)

  • 以 "reverse topological order" 處理

  • 每個子問題下面依賴的所有子問題都算完了纔開始計算當前

  • 一般依賴於子問題之間天然的 "size" 聯繫

兩種解法 big-O 時間複雜度一致，bottom-up 的 constant factor 小一些。

(4) 動態規劃的另一個要素是 "optimal substructure":

• A problem is said to have optimal substructure if an optimal solution can be constructed efficiently from optimal solutions of its subproblems.

• optimal substructure 指，一個問題的最優解，可以由其子問題的最優解構造出來。