時間複雜度

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前言

算法很重要，但是一般情況下做移動開發並不經常用到，所以很多同學早就將算法打了個大禮包送還給了老師了，況且很多同學並沒有學習過算法。這個系列就讓對算法頭疼的同學能快速的掌握基本的算法。過年放假階段玩了會遊戲NBA2K17的生涯模式，沒有比賽的日子也都是訓練，而且這些訓練都是自發的，沒有人逼你，從早上練到晚上，屬性也不漲，但是如果日積月累，不訓練和訓練的人的屬性值就會產生較大差距。這個突然讓我意識到了現實世界，要想成爲一個球星（技術大牛）那就需要日積月累的刻意訓練，索性放下游戲，接着寫文章吧。

1.算法的效率

雖然計算機能快速的完成運算處理，但實際上，它也需要根據輸入數據的大小和算法效率來消耗一定的處理器資源。要想編寫出能高效運行的程序，我們就需要考慮到算法的效率。 
算法的效率主要由以下兩個複雜度來評估： 
時間複雜度：評估執行程序所需的時間。可以估算出程序對處理器的使用程度。 
空間複雜度：評估執行程序所需的存儲空間。可以估算出程序對計算機內存的使用程度。

設計算法時，一般是要先考慮系統環境，然後權衡時間複雜度和空間複雜度，選取一個平衡點。不過，時間複雜度要比空間複雜度更容易產生問題，因此算法研究的主要也是時間複雜度，不特別說明的情況下，複雜度就是指時間複雜度。

2.時間複雜度

時間頻度 
一個算法執行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機運行測試才能知道。但我們不可能也沒有必要對每個算法都上機測試，只需知道哪個算法花費的時間多，哪個算法花費的時間少就可以了。並且一個算法花費的時間與算法中語句的執行次數成正比例，哪個算法中語句執行次數多，它花費時間就多。一個算法中的語句執行次數稱爲語句頻度或時間頻度。記爲T(n)。

時間複雜度 
前面提到的時間頻度T(n)中，n稱爲問題的規模，當n不斷變化時，時間頻度T(n)也會不斷變化。但有時我們想知道它變化時呈現什麼規律，爲此我們引入時間複雜度的概念。一般情況下，算法中基本操作重複執行的次數是問題規模n的某個函數，用T(n)表示，若有某個輔助函數f(n)，使得當n趨近於無窮大時，T（n)/f(n)的極限值爲不等於零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數，記作T(n)=O(f(n))，它稱爲算法的漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。

3.大O表示法

像前面用O( )來體現算法時間複雜度的記法，我們稱之爲大O表示法。 
算法複雜度可以從最理想情況、平均情況和最壞情況三個角度來評估，由於平均情況大多和最壞情況持平，而且評估最壞情況也可以避免後顧之憂，因此一般情況下，我們設計算法時都要直接估算最壞情況的複雜度。 
大O表示法O(f(n)中的f(n)的值可以爲1、n、logn、n²等，因此我們可以將O(1)、O(n)、O(logn)、O(n²)分別可以稱爲常數階、線性階、對數階和平方階，那麼如何推導出f(n)的值呢？我們接着來看推導大O階的方法。

推導大O階 
推導大O階，我們可以按照如下的規則來進行推導，得到的結果就是大O表示法： 
1.用常數1來取代運行時間中所有加法常數。 
2.修改後的運行次數函數中，只保留最高階項 
3.如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數。

常數階 
先舉了例子，如下所示。

  int sum = 0,n = 100; //執行一次  
  sum = (1+n)*n/2; //執行一次  
  System.out.println (sum); //執行一次 

上面算法的運行的次數的函數爲f(n)=3，根據推導大O階的規則1，我們需要將常數3改爲1，則這個算法的時間複雜度爲O(1)。如果sum = （1+n）*n/2這條語句再執行10遍，因爲這與問題大小n的值並沒有關係，所以這個算法的時間複雜度仍舊是O(1)，我們可以稱之爲常數階。

線性階 
線性階主要要分析循環結構的運行情況，如下所示。

for(int i=0;i<n;i++){
//時間複雜度爲O(1)的算法
...
}

上面算法循環體中的代碼執行了n次，因此時間複雜度爲O(n)。

對數階 
接着看如下代碼：

int number=1;
while(number<n){
number=number*2;
//時間複雜度爲O(1)的算法
...
}

可以看出上面的代碼，隨着number每次乘以2後，都會越來越接近n，當number不小於n時就會退出循環。假設循環的次數爲X，則由2^x=n得出x=log₂n，因此得出這個算法的時間複雜度爲O(logn)。

平方階 
下面的代碼是循環嵌套：

  for(int i=0;i<n;i++){   
      for(int j=0;j<n;i++){
         //複雜度爲O(1)的算法
         ... 
      }
  }

內層循環的時間複雜度在講到線性階時就已經得知是O(n)，現在經過外層循環n次，那麼這段算法的時間複雜度則爲O(n²)。 
接下來我們來算一下下面算法的時間複雜度：

  for(int i=0;i<n;i++){   
      for(int j=i;j<n;i++){
         //複雜度爲O(1)的算法
         ... 
      }
  }

需要注意的是內循環中int j=i，而不是int j=0。當i=0時，內循環執行了n次；i=1時內循環執行了n-1次，當i=n-1時執行了1次，我們可以推算出總的執行次數爲：

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1 
=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+[(n-3)+4]+…… 
=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+…… 
=(n+1)n/2 
=n(n+1)/2 
=n²/2+n/2

根據此前講過的推導大O階的規則的第二條：只保留最高階，因此保留n²/2。根據第三條去掉和這個項的常數，則去掉1/2,最終這段代碼的時間複雜度爲O(n²)。

其他常見複雜度

除了常數階、線性階、平方階、對數階，還有如下時間複雜度： 
f(n)=nlogn時，時間複雜度爲O(nlogn)，可以稱爲nlogn階。 
f(n)=n³時，時間複雜度爲O(n³)，可以稱爲立方階。 
f(n)=2ⁿ時，時間複雜度爲O(2ⁿ)，可以稱爲指數階。 
f(n)=n!時，時間複雜度爲O(n!)，可以稱爲階乘階。 
f(n)=(√n時，時間複雜度爲O(√n)，可以稱爲平方根階。

4.複雜度的比較

下面將算法中常見的f(n)值根據幾種典型的數量級來列成一張表，根據這種表，我們來看看各種算法複雜度的差異。

n	logn	√n	nlogn	n²	2ⁿ	n!
5	2	2	10	25	32	120
10	3	3	30	100	1024	3628800
50	5	7	250	2500	約10^15	約3.0*10^64
100	6	10	600	10000	約10^30	約9.3*10^157
1000	9	31	9000	1000 000	約10^300	約4.0*10^2567

從上表可以看出，O(n)、O(logn)、O(√n )、O(nlogn )隨着n的增加，複雜度提升不大，因此這些複雜度屬於效率高的算法，反觀O(2ⁿ)和O(n!)當n增加到50時，複雜度就突破十位數了，這種效率極差的複雜度最好不要出現在程序中，因此在動手編程時要評估所寫算法的最壞情況的複雜度。

下面給出一個更加直觀的圖： 

其中x軸代表n值，y軸代表T(n)值（時間複雜度）。T(n)值隨着n的值的變化而變化，其中可以看出O(n!)和O(2ⁿ)隨着n值的增大，它們的T(n)值上升幅度非常大，而O(logn)、O(n)、O(nlogn)隨着n值的增大，T(n)值上升幅度則很小。 
常用的時間複雜度按照耗費的時間從小到大依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)

參考資料 
《大話數據結構》 
《挑戰程序設計競賽2》 
《算法》