最大連續子序列和

最大連續子序列和問題是個很老的面試題了，最佳的解法是O(N)複雜度，當然其中的一些小的地方還是有些值得注意的地方的。這裏還是總結三種常見的解法，重點關注最後一種O(N)的解法即可。需要注意的是有些題目中的最大連續子序列和如果爲負，則返回0；而本題目中的最大連續子序列和並不返回0，如果是全爲負數，則返回最大的負數即可。

問題描述

求取數組中最大連續子序列和，例如給定數組爲A={1， 3， -2， 4， -5}， 則最大連續子序列和爲6，即1+3+（-2）+ 4 = 6。

解法1—O(N^2)解法

因爲最大連續子序列和只可能從數組0到n-1中某個位置開始，我們可以遍歷0到n-1個位置，計算由這個位置開始的所有連續子序列和中的最大值。最終求出最大值即可。

更詳細的講，就是計算從位置0開始的最大連續子序列和，從位置1開始的最大連續子序列和。。。直到從位置n-1開始的最大連續子序列和，最後求出所有這些連續子序列和中的最大值就是答案。

int MaxSequence(int arr[], int len){
	int max = 0, sum = 0;
	for(int i = 0; i < len; i++){
		sum = 0;
		for(int j = i; j < len; j++){
			sum += arr[j];
			if(max < sum)
				max = sum;
		}
	}
	return max;
}

解法2—O（NlgN）解法

該問題還可以通過分治法來求解，最大連續子序列和要麼出現在數組左半部分，要麼出現在數組右半部分，要麼橫跨左右兩半部分。因此求出這三種情況下的最大值就可以得到最大連續子序列和。

int max(int i, int j, int k){
	if(i >= j && i >= k)
		return i;
	return max(j, k, i);
}

int MaxSequence(int a[], int l, int u){
	if(l > u) return 0;
	if(l == u) return a[l];
	int m = (l + u) / 2;
	//求橫跨左右的最大連續子序列左半部分
	int lmax = a[m], lsum = 0;
	for(int i = m; i >= l; i--){
		lsum += a[i];
		if(lsum > lmax)
			lmax = lsum;
		printf("lmax = %d\n",lmax);
	}
	 /*求橫跨左右的最大連續子序列右半部分*/     
	int rmax = a[m + 1], rsum = 0;
	for(int i = m + 1; i <= u; i++){
		rsum += a[i];
		if(rsum > rmax)
			rmax = rsum;
		printf("rmax = %d\n",rmax);
	}
	printf("rmax + lmax = %d\n",rmax + lmax);
	return max(lmax + rmax,MaxSequence(a, 1, m), MaxSequence(a, m+1, u) );
}

 

解法3—O（N）解法

還有一種更好的解法，只需要O（N）的時間。因爲最大 連續子序列和只可能是以位置0～n-1中某個位置結尾。當遍歷到第i個元素時，判斷在它前面的連續子序列和是否大於0，如果大於0，則以位置i結尾的最大連續子序列和爲元素i和前面的連續子序列和相加；否則，則以位置i結尾的最大連續子序列和爲元素i。

 

 

int MaxSequence(int a[], int len){
	int maxsum, maxhere;
	maxsum = maxhere = a[0];
	for(int i = 1; i < len; i ++){
		if(maxhere <= 0)
			maxhere = a[i];
		else
			maxhere += a[i];
		if(maxhere > maxsum){
			maxsum = maxhere;
		}
	}
	return maxsum;
}