底層一般用數組存儲數據。假設某個元素爲序號爲i(Java數組從0開始,i爲0到n-1),如果它有左子樹,那麼左子樹的位置是2i+1,如果有右子樹,右子樹的位置是2i+2,如果有父節點,父節點的位置是(n-1)/2取整。
其任何一非葉結點滿足性質:
Key[i]<=Key[2i+1]&&Key[i]<=Key[2i+2]
或者
Key[i]>=Key[2i+1]&&Key[i]>=Key[2i+2]
即任何一非葉結點的關鍵字不大於或者不小於其左右孩子結點的關鍵字。
堆分爲大頂堆和小頂堆,滿足Key[i]>=Key[2i+1]&&Key[i]>=Key[2i+2]稱爲大頂堆,滿足Key[i]<=Key[2i+1]&&Key[i]<=Key[2i+2]稱爲小頂堆。有上述性質可知大頂堆的頂堆的關鍵字肯定是所有關鍵字中最大的,小頂堆的頂堆關鍵字是所有關鍵字中最小的。
2、所謂堆排序就是利用堆這種數據結構來對數組排序,我們使用的是最大堆。處理的思想和冒泡排序,選擇排序非常的類似,一層層封頂,只是最大元素的選取使用了最大堆。最大堆的最大元素一定在第0位置,構建好堆之後,交換0位置元素與頂即可。堆排序爲原位排序(空間小),且最壞運行時間是O(nlgn),是漸進最優的比較排序算法。
堆排序的大致步驟如下:
1.將初始待排序關鍵字序列(R[0],R[1]...R[n-1])構建成大頂堆,此堆爲初始的無序區;
2.將堆頂元素R[0]與最後一個元素R[n-1]交換,此時得到新的無序區(R[0],R[1]...R[n-2])和新的有序區(R[n-1]),且滿足R[0,1...n-2]<=R[n-1];
3.由於交換後新的堆頂R[0]可能違反堆的性質,因此需要對當前無序區(R[0],R[1]...R[n-2])調整爲新堆,然後再次將R[0],與無序區最後一個元素交換,新的無序區(R[0],R[1]...R[n-3])和新的有序區(R[n-2],R[n-1]).不斷重複此過程直到有序區的元素個數爲n-1,則整個排序過程完成。
由於步驟2的交換可能破壞了最大對的性質,第0不再是最大元素,需要調用maxHeap調整堆(沉降法),如果需要重複步驟2
堆排序最重要的算法就是maxHeap,該函數假設一個元素的兩個子節點都滿足最大堆的性質(左右子樹都是最大堆),只有跟元素可能違反最大堆性質,那麼把該元素以及左右結點的最大元素找出來,如果該元素已經最大,那麼整棵樹都是最大堆,程序退出,否則交換跟元素與最大元素的位置,繼續調用maxHeap原最大元素所在的子樹。
相關代碼:
public class ArrayUtils {
public static void printArray(int[] array) {
System.out.print("{");
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
System.out.print(array[i]);
if (i < array.length - 1) {
System.out.print(", ");
}
}
System.out.println("}");
}
public static void exchangeElements(int[] array, int index1, int index2) {
int temp = array[index1];
array[index1] = array[index2];
array[index2] = temp;
}
}
public class HeapSort {
public static void main(String[] args) {
int[] array = { 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3 };
System.out.println("Before heap:");
ArrayUtils.printArray(array);
heapSort(array);
System.out.println("After heap sort:");
ArrayUtils.printArray(array);
}
public static void heapSort(int[] array) {
if (array == null || array.length <= 1) {
return;
}
buildMaxHeap(array);
for (int i = array.length - 1; i >= 1; i--) {
ArrayUtils.exchangeElements(array, 0, i);
maxHeap(array, i, 0);
}
}
private static void buildMaxHeap(int[] array) {
if (array == null || array.length <= 1) {
return;
}
int half = array.length / 2;
for (int i = half; i >= 0; i--) {
maxHeap(array, array.length, i);
}
}
private static void maxHeap(int[] array, int heapSize, int index) {
int left = index * 2 + 1;
int right = index * 2 + 2;
int largest = index;
if (left < heapSize && array[left] > array[index]) {
largest = left;
}
if (right < heapSize && array[right] > array[largest]) {
largest = right;
}
if (index != largest) {
ArrayUtils.exchangeElements(array, index, largest);
maxHeap(array, heapSize, largest);
}
}
}