分治法求最近點對問題

 1）算法描述：已知集合S中有n個點，分治法的思想就是將S進行拆分，分爲2部分求最近點對。算法每次選擇一條垂線L，將S拆分左右兩部分爲S_L和S_R，L一般取點集S中所有點的中間點的x座標來劃分，這樣可以保證S_L和S_R中的點數目各爲n/2，

（否則以其他方式劃分S，有可能導致S_L和S_R中點數目一個爲1，一個爲n-1，不利於算法效率，要儘量保持樹的平衡性）

依次找出這兩部分中的最小點對距離：δ_L和δ_R，記S_L和S_R中最小點對距離δ = min（δ_L，δ_R），如圖1：

   

     以L爲中心，δ爲半徑劃分一個長帶，最小點對還有可能存在於S_L和S_R的交界處，如下圖2左圖中的虛線帶，p點和q點分別位於S_L和S_R的虛線範圍內，在這個範圍內，p點和q點之間的距離纔會小於δ，最小點對計算纔有意義。

    

 

 

 

 

 

Figure 2

 

 

      對於S_L虛框範圍內的p點，在S_R虛框中與p點距離小於δ的頂多只有六個點，就是圖二右圖中的2個正方形的6的頂點。這個可以反推證明，如果右邊這2個正方形內有7個點與p點距離小於δ，例如q點，則q點與下面正方形的四個頂點距離小於δ，則和δ爲S_L和S_R中的最小點對距離相矛盾。因此對於S_L虛框中的p點，不需求出p點和右邊虛線框內所有點距離，只需計算S_R中與p點y座標距離最近的6個點，就可以求出最近點對，節省了比較次數。

（否則的話，最壞情形下，在S_R虛框中有可能會有n/2個點，對於S_L虛框中的p點，每次要比較n/2次，浪費了算法的效率）

轉自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_5f888ac70100ujnj.html