全排列的編碼與解碼——康託展開 (附完整代碼)

最近遇到了求給定一個序列，求這個序列的第x個排列，沒有思路，查了下資料發現時康託展開，這篇博客寫得不錯，轉載過來記錄，原博客地址如下：http://blog.csdn.net/synapse7/article/details/16901489

一、康託展開：全排列到一個自然數的雙射

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!

ai爲整數，並且0<=ai<i(1<=i<=n)

 適用範圍：沒有重複元素的全排列

二、全排列的編碼：

{1,2,3,4,...,n}的排列總共有n!種，將它們從小到大排序，怎樣知道其中一種排列是有序序列中的第幾個？

如 {1,2,3} 按從小到大排列一共6個：123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第幾個大的數。

這樣考慮：第一位是3，小於3的數有1、2 。所以有2*2!個。再看小於第二位，小於2的數只有一個就是1 ，所以有1*1!=1 所以小於32

的{1,2,3}排列數有2*2!+1*1!=5個。所以321是第6個大的數。2*2!+1*1!是康託展開。（注意判斷排列是第幾個時要在康託展開的結果後+1）

再舉個例子：1324是{1,2,3,4}排列數中第幾個大的數：第一位是1小於1的數沒有，是0個，0*3!，第二位是3小於3的數有1和2，但1已經在第一位了，所以只有一個數2，1*2! 。第三位是2小於2的數是1，但1在第一位，所以有0個數，0*1!，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2個，1324是第三個大數。

又例如，排列3 5 7 4 1 2 9 6 8展開爲98884，因爲X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.

解釋：

排列的第一位是3，比3小的數有兩個，以這樣的數開始的排列有8!個，因此第一項爲2*8!

排列的第二位是5，比5小的數有1、2、3、4，由於3已經出現，因此共有3個比5小的數，這樣的排列有7!個，因此第二項爲3*7!

以此類推，直至0*0!

#include<cstdio>
const int fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};///階乘

int KT(int s[], int n)
{
    int i, j, cnt, sum;
    sum = 0;
    for (i = 0; i < n; ++i)
    {
        cnt = 0;
        for (j = i + 1; j < n; ++j)
            if (s[j] < s[i]) ++cnt;
        sum += cnt * fac[n - i - 1];
    }
    return sum;
}

int main()
{
    int a[] = {3, 5, 7, 4, 1, 2, 9, 6, 8};
    printf("%d\n", 1 + KT(a, sizeof(a) / sizeof(*a))); ///1+98884
}

三、全排列的解碼

如何找出第16個（按字典序的）{1,2,3,4,5}的全排列？

1. 首先用16-1得到15

2. 用15去除4! 得到0餘15

3. 用15去除3! 得到2餘3

4. 用3去除2! 得到1餘1

5. 用1去除1! 得到1餘0

有0個數比它小的數是1，所以第一位是1

有2個數比它小的數是3，但1已經在之前出現過了所以是4

有1個數比它小的數是2，但1已經在之前出現過了所以是3

有1個數比它小的數是2，但1,3,4都出現過了所以是5

最後一個數只能是2

所以排列爲1 4 3 5 2

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};///階乘

bool vis[10];

///n爲ans大小，k爲全排列的編碼
void invKT(int ans[], int n, int k)
{
    int i, j, t;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    --k;
    for (i = 0; i < n; ++i)
    {
        t = k / fac[n - i - 1];
        for (j = 1; j <= n; j++)
            if (!vis[j])
            {
                if (t == 0) break;
                --t;
            }
        ans[i] = j, vis[j] = true;
        k %= fac[n - i - 1];///餘數
    }
}

int main()
{
    int a[10];
    invKT(a, 5, 16);
    for (int i = 0; i < 5; ++i)
        printf("%d ", a[i]);///1 4 3 5 2
}