圖像傅里葉變換的頻譜特徵

傅里葉變換在一維信號處理中的地位是顯著的，是不可撼動的，然後傅里葉變換在圖像處理領域中的應用似乎稍遜一籌，黯然失色。究其原因，我想了很久，請允許我用非官方的，不正規的，但卻通俗易懂的方式說一下。

一句話概括就是：要化繁爲簡（DSP），不要弄巧成拙（DIP）。

前半句說的是DFT在信號處理中的應用:

比如說一個音頻信號（這裏討論的是數字化後的聲音），他在你看來就是一團雜亂無章的信號，你很難直觀的感受到他想要表達的意義，而用DFT分析後，很快就能知道其各個頻率成分的比重，而且在頻域處理起來也非常方便。

上圖中的一個雜亂無章的一維信號經過傅里葉分析後，信號特徵一目瞭然。DFT在一維信號中往往起到了化繁爲簡的作用。

後半句說的是DFT在圖像處理中的應用:

常言道，百聞不如一見，人腦對於圖像的理解能力是非常發達的。換句話說，一副圖像（不論是灰度的圖像還是彩色圖像）所提供的信息是顯而易見，清晰有力的。然而，一副圖像的傅里葉頻譜圖，卻常常讓人難以理解，捉摸不透，也正因爲如此，相對於一維頻譜的頻域處理方式而言，二維頻域的處理方式顯得非常有限，例如，二維卷積的頻域計算，傅里葉中心切片定理Fourier Slice Theorem（醫學領域）。

我這裏再次選用了著名的Cameraman的圖像，這幅照片向我們表達的信息是顯而易見的，一位優秀的攝影師，黑色的風衣，瀟灑的髮型，很有質感的皮手套，灰色的褲子，一臺照相機，一個三腳架，草坪，藍天，背景是MIT。而他的頻譜圖則並沒有像一維的頻譜圖那樣，有助於我們理解圖像自身以外的或者是隱藏在圖像背後的信息。比如說，中間的那條白線是什麼，如果你沒看我之前寫的那篇文章你可能都不知道它究竟代表了什麼。這也就是我爲什麼說，圖像的傅里葉變換有些多此一舉，反而把一個簡單的問題弄得很複雜，弄巧成拙了。

言歸正傳，說了這麼多，搞圖像的哪有不和二維傅里葉變換打交道的呢。現在我就盡力說明一下圖像二維傅里葉變換的一些屬性（這裏主講二維頻譜的特性，一維裏面的共有特性就不細講了）。

1，週期性

DFT的週期性：時時刻刻都要記住，對於DFT而言，他的空域和頻域始終都是沿着X和Y方向無限週期拓展的。

如果只取其中的一個週期，則我們會得到如下的結果（即，頻譜未中心化）。

爲了便於頻域的濾波和頻譜的分析，常常在變換之前進行頻譜的中心化。

附：頻譜的中心化

從數學上說是在變換之前用指數項乘以原始函數，又因爲e^jπ = 1，所以往往我們在寫程序的時候實際上是把原始矩陣乘以（-1）^(x+y)達到頻譜居中的目的。如下圖所示：1<----->3 對調，2<----->4 對調，matlab中的fftshit命令就是這麼幹的。

變換後對調頻譜的四個象限（swap quadrant）

經過中心化後的頻譜

截取了其中的一個週期，作爲圖像的頻譜

2，高低頻率的分佈

除了週期性之外，還應該知道的就是哪裏是高頻哪裏是低頻。在經過頻譜居中後的頻譜中，中間最亮的點是最低頻率，屬於直流分量（DC分量）。越往邊外走，頻率越高。所以，頻譜圖中的四個角和X,Y軸的盡頭都是高頻。

沒有經過頻譜居中處理的頻譜圖則正好相反，中間區域是高頻，而四個角則是DC低頻分量。

這裏我再用一個正弦波的例子來展示頻譜圖的高低頻的分佈，見下圖。

頻譜中心化以後，正弦波的頻點靠中心越近，頻率越低，離中心越遠，頻率越高。

3，頻譜圖的能量分佈

這裏我順便提一下頻譜中的能級分佈，則如下圖所示。明顯，DC分量所佔能量最大最多，不論是二維還是一維都應該是這樣。頻率越高的部分，能量越少。如下圖所示，圖示畫的不好，勉強能夠理解就好。中間最小的那個圓圈內包含了大約85%的能量，中間那個圈包含了大約93%的能量，而最外面那個圈則包含了幾乎99%的能量。