一、算法說明
1. 問題描述：存在一個揹包和N個物品，已知揹包的容量C，以及每件物品的重量Wi和價值Pi，每件物品或者完全放入揹包或者完全不放入揹包，要求選擇放入揹包的物品，使總重量不能超過揹包的容量，同時使物品的總價值最大。
2. 算法分析：和揹包問題不同，0-1揹包問題無法用貪婪算法解決，故而採用動態規劃法解決。
首先將一個0-1揹包問題抽象，在上述問題中，用f[i][j]表示對於容量爲j（0≤j≤C）的揹包在前i（0≤i≤N）個物品中選取價值最大的物品組合時可以獲得的最大價值，顯而易見有：f[i][0] = f[j][0] = 0, 0≤i≤N, 0≤j≤C
之後，對於任何一個f[i][j],可以拆解爲如下子問題：
f[i][j]=f[i-1][j] , if w[i]>j
f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+p[i]) , if w[i]≤j
其所表達的含義是：對於某一容量，有i個物品的0-1揹包問題看做由更小集合上（i-1個物品）的揹包問題的延伸。若第i個物品的重量大於當前揹包容量（w[i]>j），則該物品不能放入揹包，則當前揹包問題的解即爲前i-1個物品的揹包問題；若第i物品的重量小於等於當前揹包容量（w[i]≤j），則判斷將該物品放入的情況和不將該物品放入的情況，在兩者中取最優解（較大者）。
3. 算法實現和性能分析
變量設置：
n: 物品的個數
c：揹包的容量
w[n]：物品的重量，w[i]表示第i個物品的重量（0≤i≤n）；
p[n]：物品的價值，p[i]表示第i個物品的價值（0≤i≤n）；
x[n]：最大價值下，物品是否被選擇，x[i]=1表示第i件物品被選擇，x[i]=0表示第i件物品不被選擇（0≤i≤n）；
解決0-1揹包問題的函數：
整個函數分爲三個階段，第一，初始化，設置f[i][0]=f[0][j]=0，時間複雜度爲n+c，即O(n);第二階段，逐次計算f[i][j]，時間複雜度爲n*c，即O(nc); 第三階段，判斷在最大價值下，每個物品是否被放入揹包，時間複雜度爲n，O(n);
故整體來看，空間複雜度爲n*c+3n,時間複雜度也爲n*c+3n。
具體函數如下：
int backge(int n, int w[], int p[], int x[],int c){
// 初始化
int i = 0;
for(i=0;i<c+1;i++){
f[0][i]=0;
}
int j=0;
for(j=0;j<n+1;j++){
f[j][0] =0;
x[j]=0;
}
//逐次計算f[i][j]
for(i=1;i<n+1;i++){
for(j=1;j<c+1;j++){
if(w[i-1]>j){
f[i][j]=f[i-1][j];
}else{
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1]);//max()函數事先定義
}
}
}
//判斷在最大價值下，每個物品是否被放入揹包
j=c;
for(i=n;i>0;i--){
if(f[i][j]>f[i-1][j]){
x[i-1]=1;
j =j -w[i-1];
}
}
return f[n][c];//返回最大價值
}
二：實驗，結果統計及分析
實驗數據設置：
c：固定800
n：隨機生成15-40
w[i]:隨機生成0-1000
p[i]:隨機生成0-100
進行50次實驗：
實驗結果截圖如下：
從實驗數據來看，每次的運行時間都在一個毫秒左右，使用clock()無法統計更精確的運行時間，所以無法進行較爲精確的分析。
全部代碼如下：#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
//the num of the goods less than 101 and the capaticy of the backage less that 1000;
int f[50][1000];
int x[50];
//the function which return the bigger one of a and b
int max(int a, int b){
if(a>b){
return a;
}else{
return b;
}
}
// the function for 0-1 backage problem
int backage(int n, int w[], int p[], int x[], int c){
int i = 0;
for(i=0;i<c+1;i++){
f[0][i]=0;
}
int j=0;
for(j=0;j<n+1;j++){
f[j][0] =0;
x[j]=0;
}
for(i=1;i<n+1;i++){
for(j=1;j<c+1;j++){
if(w[i-1]>j){
f[i][j]=f[i-1][j];
}else{
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1]);
}
}
}
j=c;
for(i=n;i>0;i--){
if(f[i][j]>f[i-1][j]){
x[i-1]=1;
j =j -w[i-1];
}
}
return f[n][c];
}
int main(){
int c = 800;
int result;
for(int count =0 ;count<50;count++){
srand(count);
int num = rand()%26+15;
//int num=45;
int p[num];
int w[num];
for( int i =0; i<num;i++){
w[i] = rand()%1000;
p[i] = rand()%100;
}
clock_t begin = clock();
result = backage(num,w,p,x,c);
clock_t finish = clock();
long interval = finish - begin;
printf("nums:%i ",num);
printf("begintime:%ld ",begin);
printf("finishtime:%ld ",finish);
printf("result:%i ", result);
printf("used time:%ld\n",interval);
}
}