JavaScript實現kmp算法與思路淺析

寫在最前

本次分享一下通過實現kmp算法的動畫效果來試圖展示kmp的基本思路。

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前置概念

字符串匹配

字符串匹配是計算機科學中最古老、研究最廣泛的問題之一。一個字符串是一個定義在有限字母表∑上的字符序列。例如，ATCTAGAGA是字母表∑ = {A,C,G,T}上的一個字符串。字符串匹配問題就是在一個大的字符串T中搜索某個字符串P的所有出現位置。

kmp算法

KMP算法是一種改進的字符串匹配算法，由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt同時發現，因此人們稱它爲克努特——莫里斯——普拉特操作（簡稱KMP算法）。KMP算法的關鍵是利用匹配失敗後的信息，儘量減少模式串與主串的匹配次數以達到快速匹配的目的。具體實現就是實現一個next()函數，函數本身包含了模式串的局部匹配信息。時間複雜度O(m+n)。

在js中字符串匹配我們通常使用的是原生api，indexOf；其本身是c++實現的不在這次的討論範圍中。本次主要通過動畫演示的方式展現樸素算法與kmp算法對比過程的異同從而試圖理解kmp的基本思路。

PS:在之後的敘述中BBC ABCDAB ABCDABCDABDE爲主串；ABCDABD爲模式串

效果預覽

演示地址
上方爲樸素算法即按位比較，下方爲kmp算法實現的字符串比較方式。kmp可以通過較少的比較次數完成匹配。

基本思路

從上圖的效果預覽中可以看出使用樸素算法依次比較模式串需要移位13次，而使用kmp需要8次，故可以說kmp的思路是通過避免無效的移位，來快速移動到指定的地點。接下來我們關注一下kmp是如何“跳着”移動的：

與樸素算法一致，在之前對於主串“BBC ”的匹配中模式串ABCBABD的第一個字符均與之不同故向後移位到現在上圖所示的位置。主串通過依次與模式串中的字符比較我們可以看出，模式串的前6個字符與主串相同即ABCDAB；而這也就是kmp算法的關鍵。

根據已知信息計算下一次移位位置

我們先從下圖來看樸素算法與kmp中下一次移位的過程：

樸素算法雨打不動得向後移了一位。而kmp跳過了主串的BCD三個字符。從而進行了一次避免無意義的移位比較。那麼它是怎麼知道我這次要跳過三個而不是兩個或者不跳呢？關鍵在於上一次已經匹配的部分ABCDAB

從已匹配部分發掘信息

我們已知此時主串與模式串均有此相同的部分ABCDAB。那麼如何從這共同部分中獲得有用的信息？或者換個角度想一下：我們能跳過部分位置的依據是什麼？

第一次匹配失敗時的情形如下：

    BBC ABCDAB ABCDABCDABDE
        ABCDABD
              D != 空格 故失敗

爲了從已匹配部分提取信息。現在將主串做一下變形：

    ABCDABXXXXXX...  X可能是任何字符

我們現在只知道已匹配的部分，因爲匹配已經失敗了不會再去讀取後面的字符，故用X代替。

那麼我們能跳過多少位置的問題就可以由下面的解得知答案：

    //ABCDAB向後移動幾位可能能匹配上？
    ABCDABXXXXXX...
    ABCDABD

答案自然是如下移動：

    ABCDABXXXXXX...
        ABCDABD

因爲我們不知道X代表什麼，只能從已匹配的串來分析。

故我們能跳過部分位置的依據是什麼？

答：已匹配的模式串的前n位能否等於匹配部分的主串的後n位。並且n儘可能大。

舉個例子：

//第一次匹配失敗時匹配到ABCDDDABC爲共同部分
    XXXABCDDDABCFXXX
       ABCDDDABCE
//尋找模式串的最大前幾位與主串匹配到的部分後幾位相同，
//可以發現最多是ABC部分相同，故可以略過DDD的匹配因爲肯定對不上
    XXXABCDDDABCFXXX
             ABCDDDABCE     

現在kmp的基本思路已經很明顯了，其就是通過經失敗後得知的已匹配字段，來尋找主串尾部與模式串頭部的相同最大匹配，如果有則可以跨過中間的部分，因爲所謂“中間”的部分，也是有可能進入主串尾與模式串頭的，沒進去的原因即是相對位置字符不同，故最終在模式串移位時可以跳過。

部分匹配值

上面是用通俗的話來述說我們如何根據已匹配的部分來決定下一次模式串移位的位置，大家應該已經大體知道kmp的思路了。現在來引出官方的說法。

之前敘述的在已匹配部分中查找主串頭部與模式串尾部相同的部分的結果我們可以用部分匹配值的說法來形容：

• 其中定義”前綴”和”後綴”。”前綴”指除了最後一個字符以外，一個字符串的全部頭部組合；”後綴”指除了第一個字符以外，一個字符串的全部尾部組合。
• “部分匹配值”就是”前綴”和”後綴”的最長的共有元素的長度。

例如ABCDAB
- 前綴分別爲A、AB、ABC、ABCD、ABCDA
- 後綴分別爲B、AB、DAB、CDAB、BCDAB

很容易發現部分匹配值爲2即AB的長度。從而結合之前的思路可以知道將模式串直接移位到主串AB對應的地方即可，中間的部分一定是不匹配的。移動幾位呢？

答：匹配串長度 - 部分匹配值；本次例子中爲6-2=4，模式串向右移動四位

代碼實現

計算部分匹配表

function pmtArr(target) {
    var pmtArr = []
    target = target.split('')
    for(var j = 0; j < target.length; j++) {
    //獲取模式串不同長度下的部分匹配值
        var pmt = target
        var pmtNum = 0
        for (var k = 0; k < j; k++) {
            var head = pmt.slice(0, k + 1) //前綴
            var foot = pmt.slice(j - k, j + 1) //後綴
            if (head.join('') === foot.join('')) {
                var num = head.length
                if (num > pmtNum) pmtNum = num
            }
        }
        pmtArr.push(j + 1 - pmtNum) 
    }
    return pmtArr
}

kmp算法

function mapKMPStr(base, target) {
    var isMatch = []
    var pmt = pmtArr(target)
    console.time('kmp')
    var times = 0
    for(var i = 0; i < base.length; i++) {
        times++
        var tempIndex = 0
        for(var j = 0; j < target.length; j++) {
            if(i + target.length <= base.length) {
                if (target.charAt(j) === base.charAt(i + j)) {
                    isMatch.push(target.charAt(j))
                } else {
                    if(!j) break //第一個就不匹配直接跳到下一個
                    var skip = pmt[j - 1]
                    tempIndex = i + skip - 1
                    break 
                }
            }
        }
        var data = {
            index: i,
            matchArr: isMatch
        }
        callerKmp.push(data)
        if(tempIndex) i = tempIndex
        if(isMatch.length === target.length) {
            console.timeEnd('kmp')
            console.log('移位次數:', times)
            return i
        }
        isMatch = []
    }
    console.timeEnd('kmp')
    return -1

有了思路後整體實現並不複雜，只需要先通過模式串計算各長度的部分匹配值，在之後的與主串的匹配過程中，每失敗一次後如果有部分匹配值存在，我們就可以通過部分匹配值查找到下一次應該移位的位置，省去不必要的步驟。

所以在某些極端情況下，比如需要搜索的詞如果內部完全沒有重複，算法就會退化成遍歷，性能可能還不如傳統算法，裏面還涉及了比較的開銷。

參考文章

• 字符串匹配的KMP算法

最後

慣例po作者的博客，不定時更新中——

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