怎樣判斷一個數能否被7整除
2010-10-18 17:07:30| 分類： 默認分類 | 標籤： |字號大中小 訂閱
在掌握了能被2、3、5整除的數的特徵之後，判斷一個數能否被4、6、8、9整除也就不成問題了，唯獨判斷一個數能否被7整除有點麻煩。下面介紹幾種判斷一個數能否被7整除的方法供老師們參考。這些方法各有所長，貴在熟練，不必求全。
1、去尾相加法：一個自然數，去掉它的末位數字之後，再加上末位數字的5倍，如果得數能被7整除，這個自然數就能被7整除。
例 判斷1029能否被7整除。
解：去掉1029的末位數字9得102，再加上末位數字9的5倍45得147。繼續下去，去掉147的末位數字7得14，再加上末位數字7的5倍35得49。49能被7整除，所以1029能被7整除。
計算過程可以簡單記作：1029→102＋9×5＝147→14＋7×5＝49。
2、去尾相減法：一個自然數，去掉它的末位數字之後，再減去末位數字的2倍，如果所得的差能被7整除，這個自然數就能被7整除。
例 判斷15946能否被7整除。
解：去掉15946的末位數字6得1594，再減去末位數字6的2倍12得1582。繼續下去，去掉1582的末位數字2得158，再減去末位數字2的2倍4得154。再繼續下去，去掉154的末位數字4得15，再減去末位數字4的2倍8得7。7能被7整除，所以15946能被7整除。
計算過程可以簡單記作：15946→1594－6×2＝1582→158－2×2＝154→15－4×2＝7。
3、去頭相加法：一個自然數(至少有3位)，去掉它的首位數，把首位數的2倍加在其餘的數的前兩位數上，如果得數能被7整除，這個自然數就能被7整除。
例 判斷8134能不能被7整除。
解：去掉8134的首位數8，把8的2倍16加在134的前兩位數13上得294。繼續下去，去掉294的首位數2，把2的2倍4加在94上得98。98能被7整除，所以8134能被7整除。
計算過程可以簡單記作：8134→134＋8×20＝294→94＋2×2＝98。(8的2倍是16，爲了把它加在134的13上要添一個0。)
4、去頭相減法：一個自然數(至少有4位)，去掉它的首位數，把首位數從其餘的數的左起第三位數中減去，如果得數能被7整除，這個自然數就能被7整除。
例 判斷9219能不能被7整除。
解：去掉9219的首位數9得219，從219中減去9得210。210能被7整除，所以9219能被7整除。
計算過程可以簡單記作：9219→219－9＝210。
5、兩段相加法：把一個自然數分成末兩位數一段，其餘的數一段。計算末兩位數那段與其餘的數那段的2倍之和。如果得數能被7整除，這個自然數就能被7整除。
例 判斷1036能不能被7整除。
解：把1036分成末兩位數36和其餘的數10兩段，36加上10的2倍得56。56能被7整除，所以1036能被7整除。
計算過程可以簡單記作：1036→36＋10×2＝56。
6、兩段相減法：把一個自然數分成末三位數一段，其餘的數一段。計算末三位數那段與其餘的數那段之差。如果得數能被7整除，這個自然數就能被7整除。
例 判斷904841能不能被7整除。
解：把904841分成末三位數841和其餘的數904兩段，904與841的差是63。63能被7整除，所以904841能被7整除。
計算過程可以簡單記作：904841→904－841＝63。
7、三位分節法：一個自然數從個位向左，3位一節(最後不足3位時也算一節)，右起第一節減第二節、加第三節、減第四節、……照這樣減加交錯，如果得數能被7整除，這個自然數就能被7整除。
例 判斷21205219能否被7整除。
解：從21205219的個位向左，3位一節得219、205、21，第一節219減第二節205加第三節21得35。35能被7整除，所以21205219能被7整除。
計算過程可以簡單記作：21205219→219－205＋21＝35。
8、兩位分節法：一個自然數從個位向左，2位一節(最後不足2位時也算一節)，從右向左逐節依次用1、2、4、1、2、4、……分別乘各節的數再相加，如果得數能被7整除，這個自然數就能被7整除。
例 判斷34825能否被7整除。
解：從34825的個位向左，2位一節得25，48，3，逐節依次乘1，2，4得25×1＋48×2＋3×4＝133，繼續下去，把133分爲33、1得33×1＋1×2＝35。35能被7整除，所以34825能被7整除。
計算過程可以簡單記作：34825→25×1＋48×2＋3×4＝133→33×1＋1×2＝35。
9、逐位求和法：一個自然數從個位向左，逐位依次用1、3、2、－1、－3、－2、1、3、2、－1、－3、－2、……分別乘各個數位上的數再相加，如果得數能被7整除，這個自然數就能被7整除。例 判斷1743能不能被7整除。
解：1743從個位向左依次是3、4、7、1，逐位依次用1、3、2、－1乘，得3×1＋4×3＋7×2－1×1＝28。28能被7整除，所以1743能被7整除。
計算過程可以簡單記作：1743→3×1＋4×3＋7×2－1×1＝28。
例 判斷1789756能不能被7整除。
解：1789756從個位向左依次是6、5、7、9、8、7、1，逐位依次用1、3、2、－1、－3、－2、1乘，得6×1＋5×3＋7×2－9×1－8×3－7×2＋1×1＝－11。－11不能被7整除，所以1789756不能被7整除。
計算過程可以簡單記作：1789756→6×1＋5×3＋7×2－9×1－8×3－7×2＋1×1＝－11。
10、減去倍數法：常見的7的倍數有7、14、21、28、35、42、49、56、63、84、91、98、1001等。從一個自然數的任意數位上減去這些倍數，如果餘數能被7整除，這個自然數就能被7整除。
比如上面那些例題：
1029 → 28。能被7整除。
減1001
15946 → 1946 → 945 → 35。能被7整除。
減14 減1001 減91
8134 → 126 → 56。能被7整除。
減8008 減7
9219 → 21。能被7整除。
減9009
1036 → 35。能被7整除。
減1001
904841 → 3941 → 938 → 28。能被7整除。
減9009 減3003 減91
21205219 → 205009 → 4809 → 609 → 49。能被7整除。
減21、21 減2002 減42 減56
34825 → 4795 → 791 → 7。能被7整除。
減3003 減4004 減91
1743 → 742 → 0。能被7整除。
減1001 減7、42
1789756 → 788 → 11。不能被7整除。
減1001、7、56 減777
上面這些方法熟練以後可以綜合運用，並且過程也可以寫得更加簡單。
例 判斷123456789能不能被7整除。
解：先用“三位分節法”789－456＋123＝456；再用“減去倍數法”去掉56得4。4不能被7整除，所以123456789不能被7整除。
計算過程可以簡單記作：123456789→456→4。
例 判斷987653142能不能被7整除。
解：先用“減去倍數法”去掉98、7、42得6531；再用“兩段相加法”31＋65×2＝161；再用“去尾相減法”16－1×2＝14。14能被7整除，所以987653142能被7整除。
計算過程可以簡單記作：987653142→6531→161→14。