Binary Indexed Tree

 通常對於求數組的兩個操作：

   一、更新某個元素

   二、求數組中某個區間的元素的和

對於操作一，在O(1)可完成，對於操作二，在O(n)內可完成，但是如果操作二的次數很多，可能就比較耗時間了，所以這裏對於操作二提供另外一種方法，叫做Binary Indexed Tree,時間複雜度爲O(logn).

假設一共有N個元素,a[N]

這裏用一個輔助數組tree[N],數組下標從1開始

用tree[i]表示從數組a中某一處一直到a[i]共2^k個元素的總和 即tree[i]=(a[i-2^K+1]~a[i])的和, 而2^K就是i的二進制表示中從右往左數的第一個1以及之後的0的十進制值,比如(1001000)₂的(1000)₂的十進制值爲8,即2^K=8=i&(~i+1)

  如：在i= 1 0 1 0 1 0 0 0時

~i= 0 1 0 1 0 1 1 1

~i+1= 0 1 0 1 1 0 0 0

i&(~i+1)= 0 0 0 0 1 0 0 0 = (1000)₂=8

例如     index       1             2             3             4             5             6             7             8

        index bit      1             10           11           100          101          110         111          1000 

            a             2             3             4             5             6             7             8             9

            tree         2             2+3          4        2+3+4+5      6             6+7          8             2+3+4+5+6+7+8+9

對於操作一，假設我們更新a[x],將其值加v，這樣，由於這個元素的改變，我們需要更新tree[N]數組中的相應元素

代碼如下：

void update(int x, int v) { for (int i = x; i <= N; i += i & -i) tree[i] += v; } 

對於操作二，如果想要求a[1]~a[x]的和，代碼如下：

int query(int x) { int res = 0; for (int i = x; i; i -= i & -i) res += tree[i]; return res; } 

a[i]~a[j]的和等於sum[j]-sum[i-1]