給定一個概率分佈
，假定其概率密度函數（連續分佈）或概率聚集函數（離散分佈）爲
，以及一個分佈參數
，我們可以從這個分佈中抽出一個具有
個值的採樣
，通過利用，我們就能計算出其概率：
但是，我們可能不知道的值，儘管我們知道這些採樣數據來自於分佈。那麼我們如何才能估計出呢？一個自然的想法是從這個分佈中抽出一個具有個值的採樣
，然後用這些採樣數據來估計.
一旦我們獲得，我們就能從中找到一個關於的估計。最大似然估計會尋找關於的最可能的值（即，在所有可能的取值中，尋找一個值使這個採樣的“可能性”最大化）。這種方法正好同一些其他的估計方法不同，如的非偏估計，非偏估計未必會輸出一個最可能的值，而是會輸出一個既不高估也不低估的值。
要在數學上實現最大似然估計法，我們首先要定義似然函數:
並且在的所有取值上，使這個函數最大化。這個使可能性最大的
值即被稱爲的最大似然估計。
注意
- 這裏的似然函數是指
![x_1,x_2,\ldots,x_n]()
不變時，關於![\theta]()
的一個函數。 - 最大似然估計函數不一定是惟一的，甚至不一定存在。
不變時，關於例子
離散分佈，離散有限參數空間
考慮一個拋硬幣的例子。假設這個硬幣正面跟反面輕重不同。我們把這個硬幣拋80次（即，我們獲取一個採樣
並把正面的次數記下來，正面記爲H，反面記爲T）。並把拋出一個正面的概率記爲
，拋出一個反面的概率記爲
（因此，這裏的即相當於上邊的）。假設我們拋出了49個正面，31個反面，即49次H，31次T。假設這個硬幣是我們從一個裝了三個硬幣的盒子裏頭取出的。這三個硬幣拋出正面的概率分別爲
,
,
.這些硬幣沒有標記，所以我們無法知道哪個是哪個。使用最大似然估計，通過這些試驗數據（即採樣數據），我們可以計算出哪個硬幣的可能性最大。這個似然函數取以下三個值中的一個：
我們可以看到當
時，似然函數取得最大值。這就是的最大似然估計。
離散分佈，連續參數空間
現在假設例子1中的盒子中有無數個硬幣，對於
中的任何一個，
都有一個拋出正面概率爲的硬幣對應，我們來求其似然函數的最大值：
其中. 我們可以使用微分法來求最值。方程兩邊同時對取微分，並使其爲零。
![\begin{matrix}0 & = & \frac{d}{dp} \left( \binom{80}{49} p^{49}(1-p)^{31} \right) \\ & & \\ & \propto & 49p^{48}(1-p)^{31} - 31p^{49}(1-p)^{30} \\ & & \\ & = & p^{48}(1-p)^{30}\left[ 49(1-p) - 31p \right] \\\end{matrix}](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://upload.wikimedia.org/math/f/4/3/f43c984e21445732edf403445fe32ea9.png)
其解爲
,
，以及
.使可能性最大的解顯然是（因爲和這兩個解會使可能性爲零）。因此我們說最大似然估計值爲
.
這個結果很容易一般化。只需要用一個字母
代替49用以表達伯努利試驗中的被觀察數據（即樣本）的“成功”次數，用另一個字母代表伯努利試驗的次數即可。使用完全同樣的方法即可以得到最大似然估計值:
對於任何成功次數爲，試驗總數爲的伯努利試驗。
連續分佈，連續參數空間
現在有個正態隨機變量的採樣點，要求的是一個這樣的正態分佈，這些採樣點分佈到這個正態分佈可能性最大（也就是概率密度積最大，每個點更靠近中心點），其個正態隨機變量的採樣的對應密度函數（假設其獨立並服從同一分佈）爲：
或：
![f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^{n/2} \exp\left(-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)]()
,
,這個分佈有兩個參數：
.有人可能會擔心兩個參數與上邊的討論的例子不同，上邊的例子都只是在一個參數上對可能性進行最大化。實際上，在兩個參數上的求最大值的方法也差不多：只需要分別把可能性
在兩個參數上最大化即可。當然這比一個參數麻煩一些，但是一點也不復雜。使用上邊例子同樣的符號，我們有
.
最大化一個似然函數同最大化它的自然對數是等價的。因爲自然對數log是一個連續且在似然函數的值域內嚴格遞增的上凸函數。[注意：可能性函數（似然函數）的自然對數跟信息熵以及Fisher信息聯繫緊密。]求對數通常能夠一定程度上簡化運算，比如在這個例子中可以看到：
這個方程的解是
.這的確是這個函數的最大值，因爲它是
裏頭惟一的一階導數等於零的點並且二階導數嚴格小於零。
同理，我們對
求導，並使其爲零。
這個方程的解是
.
因此，其關於的最大似然估計爲：
![\widehat{\theta}=(\widehat{\mu},\widehat{\sigma}^2) = (\bar{x},\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2/n)]()
.
.性質
泛函不變性（Functional invariance）
如果是的一個最大似然估計，那麼
的最大似然估計是
.函數g無需是一個一一映射。請參見George
Casella與Roger L. Berger所著的Statistical Inference定理Theorem 7.2.10的證明。（中國大陸出版的大部分教材上也可以找到這個證明。）
漸近線行爲
最大似然估計函數在採樣樣本總數趨於無窮的時候達到最小方差（其證明可見於Cramer-Rao lower bound）。當最大似然估計非偏時，等價的，在極限的情況下我們可以稱其有最小的均方差。 對於獨立的觀察來說，最大似然估計函數經常趨於正態分佈。
偏差
最大似然估計的偏差是非常重要的。考慮這樣一個例子，標有1到n的n張票放在一個盒子中。從盒子中隨機抽取票。如果n是未知的話，那麼n的最大似然估計值就是抽出的票上標有的n，儘管其期望值的只有
.爲了估計出最高的n值，我們能確定的只能是n值不小於抽出來的票上的值。
注意:
最大似然估計是個概率學的問題，其作用對象是一次採樣的數據（包含了很多特徵信息點，知道其滿足什麼分佈，如高斯分佈，但參數未知，從而轉換爲一個參數估計的問題），最大似然估計的作用是，利用一次採樣的數據（不完整的數據，以拋硬幣的例子來說明最貼切），來估計完整數據的真實分佈，但該估計是最大可能的估計，而不是無偏估計。