最近在看深度學習的東西，一開始看的吳恩達的UFLDL教程，有中文版就直接看了，後來發現有些地方總是不是很明確，又去看英文版，然後又找了些資料看，才發現，中文版的譯者在翻譯的時候會對省略的公式推導過程進行補充，但是補充的又是錯的，難怪覺得有問題。反向傳播法其實是神經網絡的基礎了，但是很多人在學的時候總是會遇到一些問題，或者看到大篇的公式覺得好像很難就退縮了，其實不難，就是一個鏈式求導法則反覆用。如果不想看公式，可以直接把數值帶進去，實際的計算一下，體會一下這個過程之後再來推導公式，這樣就會覺得很容易了。
說到神經網絡，大家看到這個圖應該不陌生：
這是典型的三層神經網絡的基本構成，Layer L1是輸入層，Layer L2是隱含層，Layer L3是隱含層，我們現在手裏有一堆數據{x1,x2,x3,...,xn},輸出也是一堆數據{y1,y2,y3,...,yn},現在要他們在隱含層做某種變換，讓你把數據灌進去後得到你期望的輸出。如果你希望你的輸出和原始輸入一樣，那麼就是最常見的自編碼模型（Auto-Encoder）。可能有人會問，爲什麼要輸入輸出都一樣呢？有什麼用啊？其實應用挺廣的，在圖像識別，文本分類等等都會用到，我會專門再寫一篇Auto-Encoder的文章來說明，包括一些變種之類的。如果你的輸出和原始輸入不一樣，那麼就是很常見的人工神經網絡了，相當於讓原始數據通過一個映射來得到我們想要的輸出數據，也就是我們今天要講的話題。
本文直接舉一個例子，帶入數值演示反向傳播法的過程，公式的推導等到下次寫Auto-Encoder的時候再寫，其實也很簡單，感興趣的同學可以自己推導下試試：）（注：本文假設你已經懂得基本的神經網絡構成，如果完全不懂，可以參考Poll寫的筆記：[Mechine Learning & Algorithm] 神經網絡基礎）
假設，你有這樣一個網絡層：
第一層是輸入層，包含兩個神經元i1，i2，和截距項b1；第二層是隱含層，包含兩個神經元h1,h2和截距項b2，第三層是輸出o1,o2，每條線上標的wi是層與層之間連接的權重，激活函數我們默認爲sigmoid函數。
現在對他們賦上初值，如下圖：
其中，輸入數據 i1=0.05，i2=0.10;
輸出數據 o1=0.01,o2=0.99;
初始權重 w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;
w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.55
目標：給出輸入數據i1,i2(0.05和0.10)，使輸出儘可能與原始輸出o1,o2(0.01和0.99)接近。
Step 1 前向傳播
1.輸入層---->隱含層：
計算神經元h1的輸入加權和：
神經元h1的輸出o1:(此處用到激活函數爲sigmoid函數)：
同理，可計算出神經元h2的輸出o2：
2.隱含層---->輸出層：
計算輸出層神經元o1和o2的值：
這樣前向傳播的過程就結束了，我們得到輸出值爲[0.75136079 , 0.772928465]，與實際值[0.01 , 0.99]相差還很遠，現在我們對誤差進行反向傳播，更新權值，重新計算輸出。
Step 2 反向傳播
1.計算總誤差
總誤差：(square error)
但是有兩個輸出，所以分別計算o1和o2的誤差，總誤差爲兩者之和：
2.隱含層---->輸出層的權值更新：
以權重參數w5爲例，如果我們想知道w5對整體誤差產生了多少影響，可以用整體誤差對w5求偏導求出：（鏈式法則）
下面的圖可以更直觀的看清楚誤差是怎樣反向傳播的：
現在我們來分別計算每個式子的值：
計算
：
計算
：
（這一步實際上就是對sigmoid函數求導，比較簡單，可以自己推導一下）
計算
：
最後三者相乘：
這樣我們就計算出整體誤差E(total)對w5的偏導值。
回過頭來再看看上面的公式，我們發現：
爲了表達方便，用
來表示輸出層的誤差：
因此，整體誤差E(total)對w5的偏導公式可以寫成：
如果輸出層誤差計爲負的話，也可以寫成：
最後我們來更新w5的值：
（其中，
是學習速率，這裏我們取0.5）
同理，可更新w6,w7,w8:
3.隱含層---->隱含層的權值更新：
方法其實與上面說的差不多，但是有個地方需要變一下，在上文計算總誤差對w5的偏導時，是從out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在隱含層之間的權值更新時，是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)會接受E(o1)和E(o2)兩個地方傳來的誤差，所以這個地方兩個都要計算。
計算
：
先計算
：
同理，計算出：
兩者相加得到總值：
再計算
：
再計算
：
最後，三者相乘：
爲了簡化公式，用sigma(h1)表示隱含層單元h1的誤差：
最後，更新w1的權值：
同理，額可更新w2,w3,w4的權值：
這樣誤差反向傳播法就完成了，最後我們再把更新的權值重新計算，不停地迭代，在這個例子中第一次迭代之後，總誤差E(total)由0.298371109下降至0.291027924。迭代10000次後，總誤差爲0.000035085，輸出爲[0.015912196,0.984065734](原輸入爲[0.01,0.99]),證明效果還是不錯的。