7.13某中題解

1.分隊問題

描述

給定n 個選手，將他們分成若干只隊伍。其中第i 個選手要求自己所屬的隊
伍的人數大等於a[i]人。
在滿足所有選手的要求的前提下，最大化隊伍的總數。
注：每個選手屬於且僅屬於一支隊伍。

輸入格式

第一行一個整數 n，表示人數。 以下 n 行，每行一個整數表示 a[i]。

輸出格式

輸出隊伍總數的最大值。數據保證有解。

數據範圍

對於 20%的數據，n <= 10 對於 40%的數據，n <= 1000 對於 60%的數據，n <= 10000 對於 100%的數據，1 <= n <= 10^6

考試時想的是貪心，沒想dp，沒有讀入優化。。。

正解：

將選手的a[i]$a[i]$ 從小到大排個序，然後dp：
狀態：f[i]$f[i]$ 表示前i名選手能構成的最多隊伍數。
方程：f[i]=maxf[j]+1$f[i]=maxf[j]+1$ 其中j<=i−a[i]$j<=i-a[i]$
然後用maxx[j]$maxx[j]$ 提前計算前j個f的最大值即可。
時間複雜度：O(n)$O(n)$

2.子矩陣

題目描述

小 A 有一個 N×M 的矩陣，矩陣中 1~N*M 這(N*M)個整數均出現過一次。 現在小 A 在這個矩陣內選擇一個子矩陣，其權值等於這個子矩陣中的所有數的最 小值。小 A 想知道，如果他選擇的子矩陣的權值爲 i(1<=i<=N×M)，那麼他選擇 的子矩陣可能有多少種？小 A 希望知道所有可能的 i 值對應的結果，但是這些結 果太多了，他算不了，因此他向你求助。

輸入格式

第一行，兩個整數 N,M。 接下來的 N 行，每行 M 個整數，表示矩陣中的元素。

輸出格式

N×M 行，每行一個整數，其中第 i 行的整數表示如果小 A 選擇的子矩陣權 值爲 i，他選擇的子矩陣的種類數。

數據範圍

對於 30%的數據，1<=N,M<=50； 對於全部的數據，1<=N,M<=300。

考試時想的O(n4)$O(n^4)$ 暴力處理拿30分。

正解：

先用O(n3)$O(n^3)$ 處理出每個以i爲矩陣上邊，以j爲下邊，第k列的小子矩陣的最小值。
然後使用單調棧，將對於每個元素可以延伸的左右界求出即可。總共O(n3)$O(n^3)$
顯然對於一個子矩陣的最小值，它會影響左邊，右邊比它大的元素延伸矩陣，就可以用單調棧了。

3.數字對

題目描述

對於一個數字對(a,b)，我們可以通過一次操作將其變爲新數字對(a+b,b)或(a, a+b)。 給定一正整數 n，問最少需要多少次操作可將數字對(1,1)變爲一個數字對， 該數字對至少有一個數字爲 n。

輸入格式

第一行一個正整數 n

輸出格式

一個整數表示答案。

數據範圍

對於 30%的數據， 1<=n<=1000 對於 60%的數據， 1<=n<=20000 對於 100%的數據，1<=n<=10^6

考試時打表後迭代加深然後卡時才苟且通過。。。。太弱了。

正解：

顯然從（1，1）$（1，1）$ 遞推到n肯定不可行，就考慮從n反推回去。
對於（x,y）$（x,y）$ ,顯然x!=y，x,y>=0$x!=y，x,y>=0$ ,所以只有可能通過（x−y,y）$（x-y,y）$ 或者（x，y−x）$（x，y-x）$ 其中一種情況推回（x,y）$（x,y）$ ，而想到gcd過程就是輾轉相除，即輾轉相減，因此用gcd()模擬加速相減，就可算出（x,y）得到需要的次數。計算n與1至n-1的gcd（）即可。時間複雜度:O(n∗logn2)$O(n\ast lo{g}_2^n)$

反思與總結：

需要改進的：
T1：1.思考貪心算法時一定要證明自己的算法是正確的，或者努力推翻自己的算法，dp能用時就用dp；
2.數據大時要使用讀入優化。
T2：1.要注意分析最小值的性質：即遇着最大值就不能再延伸，即用單調棧可以實現。
T3:1.要想涉及到數字的大部分都是數論，不要因爲暴力苟且得分就不想數論了。

需要保持的：
T3：打表找規律，然後迭代加深，卡時倒推。考試暴力ac也是奇蹟呀（既然想到倒退爲啥還沒想到gcd?還是對算法不夠熟悉呀）