矩陣總結

有用鏈接

常用概念

(1)dimV:線性空間中,線性無關向量的最大個數(矩陣的秩)
(2)N(A):矩陣零空間:AX=0的X的解空間
(3)span{c1,c2,c3….}:矩陣列空間
(4)奇異矩陣:矩陣的行列式爲0
(5)det(A)=|A|:A的行列式的值
(6)tr(A):矩陣A的跡,對角線的值

trA=a11+a22+....ann
矩陣tr的性質:
(1) b1+b2+…+bn=trA
(2)b1b2…*bn=detA 其中:其中b1,b2,…,bn爲矩陣A的特徵值

(7)diag{r1,r2,…rn}:由r1,r2…rn組成的對角陣
(8)歐式空間:實數空間 U空間:包含複數的空間

轉置:歐式空間的轉置爲T,U空間轉置爲H
對稱矩陣:歐式空間中,AT=A 爲對稱矩陣,在U空間中表達爲AH=A ,稱爲Hermite陣

(9)奇異值:AHA 的所有特徵值開根號,即爲奇異值,應用在奇異值分解裏面
(10)

幾種不同的矩陣

  • 奇異矩陣:矩陣的行列式爲0
  • 正交陣(U陣):AAT=ATA=E ,即AT=A1

根據矩陣的乘法:cij=nk=1aikbkj=nk=1aikajk (因爲bkj=ajk )
根據上面可以得出,正交陣的性質:
(1)同行的乘積之和爲1
(2)異行的乘積之和爲0
對於歐式空間(實數空間)表達式:QTQ=I
對於U空間(複數空間)表達式:UHU=I
任何一個矩陣U相似於上三角陣:UHAU=λ1λ2...λn

  • 對稱矩陣(Hermite陣):AH=A
  • 正規陣:AAH=AHA
    正規陣的性質:U相似於對角形矩陣
    對稱矩陣和正規陣的性質:
    (1)不同特徵值的特徵向量相互正交
    (2)可U對角化(只有正規陣纔可U對角化)
    因此U對角化的條件:正規陣
  • 奇異矩陣,非奇異矩陣(滿秩矩陣)
  • 奇異矩陣R(A)< n
  • 正定陣
    f(X)是二次型矩陣,對於任意的X,都有
    f(X)=XTAX>0
    則f成爲正定二次型,A成爲正定陣
    半正定陣
    f(X)=XTAX>=0

方程用矩陣表示

  • 一次線性方程
    f(x)=bixi=bTX

  • 二次齊次方程(只有二次項)
    f(x)=ni=1nj=1Aijxixj

  • 二次方程的表示
    f(x)=XTAX+bTX+c
    其中第一項表示二次的項,第二項表示一次項,第三項表示常數項
    方程的梯度計算的常用公式(通過求梯度就可以求得其全微分)
    全微分=梯度 x dx
    eg:
    dz=fxdx+fydy=(fx,fy)T(dx,dy)
    一次微分: 雅克比行列式
    二次微分: Hessian 行列式

對角化

  • 相似對角化

表達式:
A=Q1diag{λ1,λ2,...λn}Q
條件(滿足一個即可):
(1)A有n個線性無關的特徵向量
(2)mA(λ) 無重根
(3)
求解過程
1)令 |AλI|x=0 ,求出特徵值和特徵向量a1,a2,...an
2)P=(a1,a2,...an) 即爲特徵矩陣
3)最後A=P1AP

  • U對角化

表達式:
A=U^{-1}diag{\lambda_1,\lambda_2,…\lambda_n}U
條件(滿足一個即可):
(1)A有n個線性無關的特徵向量
(2)mA(λ) 無重根
並且A是正規陣(包括對稱矩陣)
求解過程
1)令 |AλI|x=0 ,求出特徵值和特徵向量a1,a2,...an
2)P=(a1,a2,...an) 即爲特徵矩陣
3)將P化爲simth標準型U
4)最後A=U1AU

  • 二次型對角化

表達式:
B=diag{a1,a2,..an}=CTAC
將矩陣A轉化爲一個對角形 (左邊一個行變換,右邊一個相同的列變化,轉化爲對角形)
條件(滿足一個即可):
(1)A爲對稱矩陣
並且A是正規陣(包括對稱矩陣)
求解過程
3.1 U相似對交互即可

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