簡單介紹函數式編程中的Functor(函子)，Applicative(加強版函子)，Monad(單子)

原文地址：http://skaka.me/blog/2015/12/19/functor-applicative-monad-scala-haskell/

如果你是剛接觸函數式編程，可能很容易被下面這些術語弄迷惑：Functor(函子)，Applicative(加強版函子)，Monad(單子)。 這些概念不是空穴來風，它們出自範疇論，如果你上網去搜範疇論，可能會找到大篇的術語定義，學術資料，這些資料大多都不是入門友好的。 這裏我不會探討定義，只會介紹這些概念在代碼中到底起了什麼樣的作用，以及怎麼樣運用它們。

下面的示例代碼大部分是Haskell，有一小部分是Java8，不會Haskell完全沒關係，你可以把它們看作僞代碼，我會對每一段代碼進行解釋。 這篇文章適合剛剛接觸函數式編程的同學。我在剛接觸這些概念的時候一頭霧水，網上找的資料要麼level太高看不懂， 要麼直接就blabla給你介紹一大片背景知識了。後來經過長時間的摸爬滾打加實踐，我發現這些概念理解起來也不是很困難，所以就想寫一篇入門級的介紹。 如果你想要對函數式編程有一定的瞭解，這些概念你是繞不過去的，特別是Monad，當你發現你理解了Monad的機制，很多看起來不可思議的代碼就能理解了。

開始之前，我簡單介紹一下類型類(typeclass)和類型構造器的概念。函數式編程中的類型類是定義行爲的接口。 如果一個類型是某個類型類的實例，那麼這個類型必須實現所有該類型類所定義的行爲。不要因爲有“類”這個詞就把類型類與面向對象中的類混淆， 他們是完全不同的概念。類型構造器能夠接收其他類型爲參數，創建出新的類型。舉個例子，Scala的List即爲接收一個類型參數的類型構造器， 當類型參數爲Int時，List類型構造器的返回類型爲List[Int]，當類型參數爲String時，返回類型爲List[String]。 與類型構造器相對的概念是值構造器，比如Int(2)。

1. Functor

首先看看函子的類型類用代碼怎麼表示：

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-- Haskell中一個函數如果有兩個參數一個返回值，寫法是這樣: a(第一個參數) -> b(第二個參數) -> c(返回值) class Functor f where fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

函子的類型類只定義了一個fmap函數: fmap函數接收兩個參數，第一個參數是以a爲參數，b爲返回值的函數；第二個參數類型爲f a，fmap的返回值類型爲f b. 注意這裏的a, b可以爲任意類型, f爲接收一個類型參數的類型構造器。這樣說可能有點抽象，來看一個具體的例子。 已知[]（列表）是一個functor實例，他的fmap函數聲明爲:

1	fmap :: (a -> b) -> [a] -> [b]

接收一個以a爲參數，b爲返回值的函數以及元素類型爲a的列表，返回元素類型爲b的列表。 至此，你能看出functor所抽象的行爲嗎？你可以從下面兩個角度思考fmap: 1. 接受函數和函子值，返回在函子值上映射函數的結果（返回也是函子值）。 2. 接受函數，把該函數從操作普通類型的函數提升(lift)爲操作函子值的函數。 這就是函子，不難吧？

2. Applicative

Applicative，俗稱加強版函子，先來看Applicative類型類的代碼:

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class (Functor f) => Applicative f where pure :: a -> f a (<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b

多了一個新的元素，先解釋下。 class (Functor f) => Applicative f的意思是約束f類型必須首先是一個Functor(函子)，即如果一個類型是Applicative的實例， 則肯定是Functor的實例。Applicative類型類定義了兩個函數：pure和<*>(其實還有一個fmap， 因爲Applicative實例肯定是Functor的實例，所以fmap免費提供了)。pure是一個很簡單的函數，接收任意類型的值爲參數，返回包裹了該值的Applicative值。 <*>函數看起來和fmap有些像，唯一的區別是fmap的第一個參數接收一個普通函數(a -> b)，而<*>的第一個參數爲f(a -> b)， 即把普通的函數用Applicative包裹。我們看看列表作爲Applicative實例的實現:

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-- Haskell中，列表的寫法爲[], 例如[1,2,3]是一個元素都爲Int的列表 pure x = [x] (<*>) fs xs = [f x | f <- fs, x <- xs]

pure的實現很簡單，把接收的參數值放入列表並返回。<*>的實現稍微複雜點，使用了列表生成式的語法。如果你接觸過Python，對這種語法不會陌生， 這段代碼如果用命令式語言風格翻譯，會是這樣:

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var array = []; for(f in fs) { for(x in xs) { array.push(f(x)); } }

到此爲止，我們應該已經瞭解Applicative實例的作用了，主要定義了兩個行爲，第一個行爲是接收一個任意值爲參數，返回一個函子值， 第二個行爲是從一個函子值裏取出函數，應用到第二個函子裏面的值。那麼Applicative有什麼實際用處呢，看下面的應用：

1 2	[(*0), (+100), (+200)] <*> [1, 2, 3] -- 輸出結果: 0,0,0,101,102,103,201,202,203

(*0)是對*函數的部分應用，*是一個二元函數，接收兩個參數，返回這兩個參數的乘積。(*0)是一個一元函數，接收一個參數， 返回這個參數與0的乘積。第一個列表裏面是三個一元函數，分別應用到第二個列表的元素，參照我們之前對列表<*>函數的定義，很容易得出上面的結果。 這種把<*>串起來用的用法叫做Applicative風格，下面是另外幾個例子：

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[(+), (*)] <*> [1, 2] <*> [3, 4] -- 輸出結果: [4,5,5,6,3,4,6,8] pure (+) <*> [1, 2] <*> [3, 4] -- 輸出結果: [4,5,5,6]

非常好，現在我們能夠把應用到普通值的函數應用到函子值上面了。

3. Monad

相比Functor和Applicative，Monad的應用更加廣泛，Monad可以看作加強版的Applicative，引用<<Haskell趣學指南>>中的句子：

1 2	monad是對applicative函子概念的延伸，它們提供了下面這個問題的一種解決方案：如果我們有一個帶有上下文的值m a，如何對它應用這樣一個函數——取 類型爲a的參數，返回帶上下文的值？換句話說，怎麼對m a應用類型爲a -> m b的函數？

這種場景非常常見，我們來看Java8的Stream API:

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public interface Stream<T> extends BaseStream<T, Stream<T>> { //... <R> Stream<R> flatMap(Function<? super T, ? extends Stream<? extends R>> mapper); //... }

flatMap方法接收一個函數（這個函數接收T類型的入參，返回Stream）然後在Stream上應用這個函數，返回Stream(暫時不考慮子類問題)。 我們來看看Haskell中的"flatMap"（Haskell中叫做綁定）:

1	(>>=) :: (Monad m) => m a -> (a -> m b) -> m b

>>=函數接收兩個參數：一個Monad值m a，一個函數（入參爲類型a，返回值爲Monad值m b），返回值類型爲Monad值m b。 這和Java8的flatMap形式上非常相似，其實它們要解決的是相同的問題。 Monad在函數式編程中無處不在，來看看具體的例子。

1 2	[3,4,5] >>= \x -> [-x] -- 輸出結果: [-3,-4,-5]

首先，列表是一個Monad，對照>>=函數的定義，這裏的m就是列表，a就是Int，a -> m b對應的類型就是Int -> [Int]。 上面的邏輯用Java8的flatMap實現：

1 2	//Lists來自Guava庫 Lists.newArrayList(3,4,5).stream().flatMap(x -> Lists.newArrayList(-x).stream()).collect(Collectors.toList());

好了，這裏我簡單介紹了Functor，Applicative，Monad的概念以及實際應用。如果對這些概念想更進一步瞭解，可以看看下面的書：
1. Haskell趣學指南
2. Functional Programming in Scala
3. 範疇論