統計描述量

數據分析的任務是對樣本數據進行分析，提取數據中包含的有用信息。數據的信息藉助數據的主要特徵展示出來，這些特徵包括數據的集中位置，分散程度和數據分佈等。

1. 基本統計量

描述數據特徵的基本統計量有均值、順序統計量、中位數和百分位數。

均值

均值 (mean) 是數據的平均數, 描述數據取值的平均位置。

x⎯⎯=1n∑i=1nxi

R 計算樣本均值
mean(x, trim = 0, na.rm = FALSE)

• x: 數據對象
• trim: 計算均值前去掉與均值差較大數據的比例
• na.rm: 是否允許數據中有缺失數據

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順序統計量

排列順序統計量 (order statistic) 指 n 個數據按從小到大的順序。

x1≤x2≤⋯≤xn

R 數據排序, 返回排序後的數據
sort(x, decreasing = FALSE)

• x: 數據對象
• decreasing: 是否降序

R 數據排序，返回排序後的下標
order(x)

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中位數

中位數 (median) 指數據排序位於中間位置的值. 中位數描述描述數據中心位置的數字特徵: 對稱分佈的數據, 均值與中位數比較接近，且中位數不受異常值的影響。

me={x(n+12)12(x(n2)+x(n2+1))當n爲奇數時當n爲偶數時

R 計算數據中位數
median(x, na.rm = FALSE

• x: 數據向量
• na.rm: 是否處理帶有缺失值的向量

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百分位數

百分位數 (percentile)，如果將一組數據從小到大排序，並計算相應的累計百分位，則某一百分位所對應數據的值就稱爲這一百分位的百分位數。對於 0≤p<1 , p 分位點定義爲

mp={x([np]+1)12(x(np)+x(np+1))當np不是整數時當np是整數時

0.75 分位數與 0.25 分位數(第75百分位數與第25百分位數)，分別稱爲上、下四分位數，記爲 Q3=m0.75 , Q1=m0.25

R 計算百分位數
quantile(x, probs = seq(0, 1, 0.25), na.rm = FALSE)

• x: 數據向量
• probs: 給出相應的百分數
• na.rm: 是否處理帶有缺失值的向量

quantile(w, 0.25) 計算下四分位數

quantile(w, 0.75) 計算上四分位數

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2. 分散程度度量

表示數據分散(或變異) 程度的特徵量有方差、標準差、極差、四分位極差、變異係數和標準誤等。

方差

方差 (variance) 是描述數據取值分散性的一個度量。樣本方差 (sample variance) 是樣本相對於均值的偏差平方和的平均，記爲 s2

s2=1n−1∑i=1n(xi−x⎯⎯)2

R 計算方差
var(x, y = NULL, na.rm = FALSE, use)

• x: 數據向量
• y: 指定數據維度
• na.rm: 是否處理帶有缺失值的向量
• use: 指定計算方式

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樣本標準差

樣本標準差 (standard deviation)，是樣本方差的開方，記爲 s

s=s2‾‾√=1n−1∑i=1n(xi−x⎯⎯)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷

R 計算樣本標準差
sd(x, na.rm = FALSE) 或者 sqrt(var(x))

• x: 數據向量
• na.rm: 是否處理帶有缺失值的向量

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變異係數

變異係數是刻畫數據相對分散性的一種度量，記爲 CV

CV=sx⎯⎯×100%

R 計算變異係數
sd(x) / mean(x) * 100

• x: 數據向量

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極差

極差是最大值與最小值之間的差值，即最大值減最小值後所得之數據，記爲 R

R=max(x)−min(x)

樣本極差是描述樣本分散性的數字特徵，當數據越分散，其極差越大。

R 計算極差
max(x) - min(x)

• x: 數據向量

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四分位差

四分位差 (或稱半極差) 是樣本上下四分位數之差，記爲 R1

R1=Q3−Q1

對於具有特異值得數據，四分位差比極差更有穩健性。

R 計算四分位差
quantile(x, 0.75) - quantile(x, 0.25)

• x: 數據向量

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標準誤

也稱爲標準誤差，方差除以樣本大小的開方

sm=1n(n−1)∑i=1n(xi−x⎯⎯)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷=sn√

R 計算標準誤
sd(x)/sqrt(length(x))

• x: 數據向量

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3. 分佈形狀度量

描述分佈偏離對稱性程度的指標有偏度係數和峯度係數。

偏度係數

偏度係數是刻畫數據的對稱性指標，記爲 g1

g1=n(n−1)(n−2)s3∑in(xi−x⎯⎯)3=n2μ3(n−1)(n−2)s3

s 是標準差, μ3 是樣本 3階中心矩，μ3=1n∑ni=1(xi−x⎯⎯)3 。

關於均值對稱的數據其偏度係數爲0，右側更分散的數據偏度係數爲正, 左側更分散的數據偏度係數爲負。

R 計算偏度係數

n<-length(x)
m<-mean(x)
s<-sd(x)
n/((n-1)*(n-2))*sum((x-m)^3)/s^3

• x: 數據向量

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峯度係數

峯度係數是用來分佈曲線頂端尖峭或扁平程度的指標，記爲 g2

g2=n(n+1)(n−1)(n−2)(n−3)s4∑in(xi−x⎯⎯)4−3(n−1)2(n−2)(n−3)=n2(n+1)μ4(n−1)(n−2)(n−3)s4−3(n−1)2(n−2)(n−3)

s 是標準差, μ4 是樣本 4階中心矩, μ4=1n∑ni=1(xi−x⎯⎯)4

當數據的總體分佈爲正態分佈時，峯度係數爲0; 當分佈較正態分佈的尾部更分散時(兩側極端數據較多)，峯度係數爲正; 當兩側數據較正態分佈少時，峯度係數爲負.

R 計算峯度係數

n<-length(x)
m<-mean(x)
s<-sd(x)
((n*(n+1))/((n-1)*(n-2)*(n-3))*sum((x-m)^4)/s^4 - (3*(n-1)^2)/((n-2)*(n-3)))

• x: 數據向量

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統計函數 R實現

data_outline.R

data_outline <- function(x){
    n <- length(x)      # 數據個數
    m <- mean(x)        # 均值
    v <- var(x)         # 方差
    s <- sd(x)          # 標準差
    me <- median(x)     # 中位數
    cv <- 100*s/m       # 變異係數
    css <- sum((x-m)^2) # 樣本校正平方和
    uss <- sum(x^2)     # 樣本未校正平方和
    R <-  max(x)-min(x) # 極差
    R1 <- quantile(x,3/4)-quantile(x,1/4) # 四分位差
    sm <- s/sqrt(n)     # 標準誤
    g1 <- n/((n-1)*(n-2))*sum((x-m)^3)/s^3 # 偏度係數
    g2 <- ((n*(n+1))/((n-1)*(n-2)*(n-3))*sum((x-m)^4)/s^4 - (3*(n-1)^2)/((n-2)*(n-3)))  # 峯度係數

    data.frame(
        N=n,
        Mean=m,
        Var=v,
        std_dev=s,
        Median=me,
        std_mean=sm,
        CV=cv,
        CSS=css,
        USS=uss,
        R=R,
        R1=R1,
        Skewness=g1,
        Kurtosis=g2,
        row.names=1
    )
}

使用

> source("data_outline.R")
> w<-c(75.0, 64.0, 47.4, 66.9, 62.2, 62.2, 58.7, 63.5, 66.6, 64.0, 57.0, 69.0, 56.9, 50.0, 72.0)
> data_outline(w)

參考文件

[1] 薛毅, 陳立萍. 統計建模與R軟件[M]. 清華大學出版社, 2007: 107-115.