談談B樹
1.前言：
動態查找樹主要有：二叉查找樹（Binary Search Tree），平衡二叉查找樹（Balanced Binary Search Tree），紅黑樹(Red-Black Tree )，B-tree/B+-tree/ B*-tree (B~Tree)。前三者是典型的二叉查找樹結構，其查找的時間複雜度O(log2N)與樹的深度相關，那麼降低樹的深度自然會提高查找效率。
但是咱們有面對這樣一個實際問題：就是大規模數據存儲中，實現索引查詢這樣一個實際背景下，樹節點存儲的元素數量是有限的（如果元素數量非常多的話，查找就退化成節點內部的線性查找了），這樣導致二叉查找樹結構由於樹的深度過大而造成磁盤I/O讀寫過於頻繁，進而導致查詢效率低下（爲什麼會出現這種情況，待會在外部存儲器-磁盤中有所解釋），那麼如何減少樹的深度（當然是不能減少查詢的數據量），一個基本的想法就是：採用多叉樹結構（由於樹節點元素數量是有限的，自然該節點的子樹數量也就是有限的）。
也 就是說，因爲磁盤的操作費時費資源，如果過於頻繁的多次查找勢必效率低下。那麼如何提高效率，即如何避免磁盤過於頻繁的多次查找呢？根據磁盤查找存取的次 數往往由樹的高度所決定，所以，只要我們通過某種較好的樹結構減少樹的結構儘量減少樹的高度，那麼是不是便能有效減少磁盤查找存取的次數呢？那這種有效的 樹結構是一種怎樣的樹呢？
這樣我們就提出了一個新的查找樹結構——多路查找樹。根據平衡二叉樹的啓發，自然就想到平衡多路查找樹結構，也就是這篇文章所要闡述的第一個主題B~tree，即B樹結構(後面，我們將看到，B樹的各種操作能使B樹保持較低的高度，從而達到有效避免磁盤過於頻繁的查找存取操作，從而有效提高查找效率)。
B-tree（B-tree樹即B樹，B即Balanced，平衡的意思）這棵神奇的樹是在Rudolf Bayer, Edward M. McCreight(1970)寫的一篇論文《Organization and Maintenance of Large Ordered Indices》中首次提出的（wikipedia中：http://en.wikipedia.org/wiki/B-tree，闡述了B-tree名字來源以及相關的開源地址）。
在開始介紹B~tree之前，先了解下相關的硬件知識，才能很好的瞭解爲什麼需要B~tree這種外存數據結構。
2.外存儲器—磁盤
計算機存儲設備一般分爲兩種：內存儲器(main memory)和外存儲器(external memory)。 內存存取速度快，但容量小，價格昂貴，而且不能長期保存數據(在不通電情況下數據會消失)。
外存儲器—磁盤是一種直接存取的存儲設備(DASD)。它是以存取時間變化不大爲特徵的。可以直接存取任何字符組，且容量大、速度較其它外存設備更快。
2.1磁盤的構造
磁盤是一個扁平的圓盤(與電唱機的唱片類似)。盤面上有許多稱爲磁道的圓圈，數據就記錄在這些磁道上。磁盤可以是單片的，也可以是由若干盤片組成的盤組，每一盤片上有兩個面。如下圖11.3中所示的6片盤組爲例，除去最頂端和最底端的外側面不存儲數據之外，一共有10個面可以用來保存信息。
當磁盤驅動器執行讀/寫功能時。盤片裝在一個主軸上，並繞主軸高速旋轉，當磁道在讀/寫頭(又叫磁頭) 下通過時，就可以進行數據的讀 / 寫了。
一般磁盤分爲固定頭盤(磁頭固定)和活動頭盤。固定頭盤的每一個磁道上都有獨立的磁頭，它是固定不動的，專門負責這一磁道上數據的讀/寫。
活動頭盤 (如上圖)的磁頭是可移動的。每一個盤面上只有一個磁頭(磁頭是雙向的，因此正反盤面都能讀寫)。它可以從該面的一個磁道移動到另一個磁道。所有磁頭都裝在同一個動臂上，因此不同盤面上的所有磁頭都是同時移動的(行動整齊劃一)。當盤片繞主軸旋轉的時候，磁頭與旋轉的盤片形成一個圓柱體。各個盤面上半徑相同的磁道組成了一個圓柱面，我們稱爲柱面 。因此，柱面的個數也就是盤面上的磁道數。
2.2磁盤的讀/寫原理和效率
磁盤上數據必須用一個三維地址唯一標示：柱面號、盤面號、塊號(磁道上的盤塊)。
讀/寫磁盤上某一指定數據需要下面3個步驟：
(1) 首先移動臂根據柱面號使磁頭移動到所需要的柱面上，這一過程被稱爲定位或查找 。
(2) 如上圖11.3中所示的6盤組示意圖中，所有磁頭都定位到了10個盤面的10條磁道上(磁頭都是雙向的)。這時根據盤面號來確定指定盤面上的磁道。
(3) 盤面確定以後，盤片開始旋轉，將指定塊號的磁道段移動至磁頭下。
經過上面三個步驟，指定數據的存儲位置就被找到。這時就可以開始讀/寫操作了。
訪問某一具體信息，由3部分時間組成：
● 查找時間(seek time) Ts: 完成上述步驟(1)所需要的時間。這部分時間代價最高，最大可達到0.1s左右。
● 等待時間(latency time) Tl: 完成上述步驟(3)所需要的時間。由於盤片繞主軸旋轉速度很快，一般爲7200轉/分(電腦硬盤的性能指標之一, 家用的普通硬盤的轉速一般有5400rpm(筆記本)、7200rpm幾種)。因此一般旋轉一圈大約0.0083s。
● 傳輸時間(transmission time) Tt: 數據通過系統總線傳送到內存的時間，一般傳輸一個字節(byte)大概0.02us=2*10^(-8)s
磁盤讀取數據是以盤塊(block)爲基本單位的。位於同一盤塊中的所有數據都能被一次性全部讀取出來。而磁盤IO代價主要花費在查找時間Ts上。因此我們應該儘量將相關信息存放在同一盤塊，同一磁道中。或者至少放在同一柱面或相鄰柱面上，以求在讀/寫信息時儘量減少磁頭來回移動的次數，避免過多的查找時間Ts。
所以，在大規模數據存儲方面，大量數據存儲在外存磁盤中，而在外存磁盤中讀取/寫入塊(block)中某數據時，首先需要定位到磁盤中的某塊，如何有效地查找磁盤中的數據，需要一種合理高效的外存數據結構，就是下面所要重點闡述的B-tree結構，以及相關的變種結構：B+-tree結構和B*-tree結構。
3.B- 樹
3.1什麼是B-樹
具體講解之前，有一點，再次強調下：B-樹，即爲B樹。因爲B樹的原英文名稱爲B-tree，而國內很多人喜歡把B-tree譯作B-樹，其實，這是個非常不好的直譯，很容易讓人產生誤解。如人們可能會以爲B-樹是一種樹，而B樹又是一種一種樹。而事實上是，B-tree就是指的B樹。特此說明。
我 們知道，B 樹是爲了磁盤或其它存儲設備而設計的一種多叉（下面你會看到，相對於二叉，B樹每個內結點有多個分支，即多叉）平衡查找樹。與本blog之前介紹的紅黑樹 很相似，但在降低磁盤I/0操作方面要更好一些。許多數據庫系統都一般使用B樹或者B樹的各種變形結構，如下文即將要介紹的B+樹，B*樹來存儲信息。
B 樹與紅黑樹最大的不同在於，B樹的結點可以有許多子女，從幾個到幾千個。那爲什麼又說B樹與紅黑樹很相似呢?因爲與紅黑樹一樣，一棵含n個結點的B樹的高 度也爲O（lgn），但可能比一棵紅黑樹的高度小許多，應爲它的分支因子比較大。所以，B樹可以在O（logn）時間內，實現各種如插入 （insert），刪除（delete）等動態集合操作。
如 下圖所示，即是一棵B樹，一棵關鍵字爲英語中輔音字母的B樹，現在要從樹種查找字母R（包含n[x]個關鍵字的內結點x，x有n[x]+1]個子女（也就 是說，一個內結點x若含有n[x]個關鍵字，那麼x將含有n[x]+1個子女）。所有的葉結點都處於相同的深度，帶陰影的結點爲查找字母R時要檢查的結 點）：
相信，從上圖你能輕易的看到，一個內結點x若含有n[x]個關鍵字，那麼x將含有n[x]+1個子女。如含有2個關鍵字D H的內結點有3個子女，而含有3個關鍵字Q T X的內結點有4個子女。
B樹的定義，從下文中，你將看到，或者是用階，或者是用度，如下段文字所述：
Unfortunately, the literature on B-trees is not uniform in its use of terms relating to B-Trees. (Folk & Zoellick 1992, p. 362) Bayer & McCreight (1972), Comer (1979), and others define the order of B-tree as the minimum number of keys in a non-root node. Folk & Zoellick (1992) points out that terminology is ambiguous because the maximum number of keys is not clear. An order 3 B-tree might hold a maximum of 6 keys or a maximum of 7 keys. (Knuth 1998,TAOCP p. 483) avoids the problem by defining the order to be maximum number of children (which is one more than the maximum number of keys).
from: http://en.wikipedia.org/wiki/Btree#Technical_description。
用階定義的B樹
B 樹又叫平衡多路查找樹。一棵m階的B 樹 (注：切勿簡單的認爲一棵m階的B樹是m叉樹，雖然存在四叉樹，八叉樹，KD樹，及vp/R樹/R*樹/R+樹/X樹/M樹/線段樹/希爾伯特R樹/優先R樹等空間劃分樹，但與B樹完全不等同)的特性如下：
-
樹中每個結點最多含有m個孩子（m>=2）；
-
除根結點和葉子結點外，其它每個結點至少有[ceil(m / 2)]個孩子（其中ceil(x)是一個取上限的函數）；
-
若根結點不是葉子結點，則至少有2個孩子（特殊情況：沒有孩子的根結點，即根結點爲葉子結點，整棵樹只有一個根節點）；
-
所有葉子結點都出現在同一層，葉子結點不包含任何關鍵字信息(可以看做是外部接點或查詢失敗的接點，實際上這些結點不存在，指向這些結點的指針都爲null)；（讀者反饋@冷嶽：這裏有錯，葉子節點只是沒有孩子和指向孩子的指針，這些節點也存在，也有元素。@JULY：其實，關鍵是把什麼當做葉子結點，因爲如紅黑樹中，每一個NULL指針即當做葉子結點，只是沒畫出來而已）。
-
每個非終端結點中包含有n個關鍵字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：
a) Ki (i=1...n)爲關鍵字，且關鍵字按順序升序排序K(i-1)< Ki。
b) Pi爲指向子樹根的接點，且指針P(i-1)指向子樹種所有結點的關鍵字均小於Ki，但都大於K(i-1)。
c) 關鍵字的個數n必須滿足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。如下圖所示：
用度定義的B樹
針對上面的5點，再闡述下：B樹中每一個結點能包含的關鍵字（如之前上面的D H和Q T X）數有一個上界和下界。這個下界可以用一個稱作B樹的最小度數（算法導論中文版上譯作度數，最小度數即內節點中節點最小孩子數目）m（m>=2）表示。
-
每個非根的內結點至多有m個子女，每個非根的結點必須至少含有m-1個關鍵字，如果樹是非空的，則根結點至少包含一個關鍵字；
-
每個結點可包含至多2m-1個關鍵字。所以一個內結點至多可有2m個子女。如果一個結點恰好有2m-1個關鍵字，我們就說這個結點是滿的（而稍後介紹的B*樹作爲B樹的一種常用變形，B*樹中要求每個內結點至少爲2/3滿，而不是像這裏的B樹所要求的至少半滿）；
-
當關鍵字數m=2（t=2的意思是，mmin=2，m可以>=2）時的B樹是最簡單的（有很多人會因此誤認爲B樹就是二叉查找樹，但二叉查找樹就是二叉查找樹，B樹就是B樹，B樹是一棵含有m（m>=2）個關鍵字的平衡多路查找樹），此時，每個內結點可能因此而含有2個、3個或4個子女，亦即一棵2-3-4樹，然而在實際中，通常採用大得多的t值。
B樹中的每個結點根據實際情況可以包含大量的關鍵字信息和分支(當然是不能超過磁盤塊的大小，根據磁盤驅動(disk drives)的不同，一般塊的大小在1k~4k左右)；這樣樹的深度降低了，這就意味着查找一個元素只要很少結點從外存磁盤中讀入內存，很快訪問到要查 找的數據。如果你看完上面關於B樹定義的介紹，思維感覺不夠清晰，請繼續參閱下文第6小節、B樹的插入、刪除操作 部分。
3.2B樹的類型和節點定義
B樹的類型和節點定義如下圖所示：
3.3文件查找的具體過程(涉及磁盤IO操作)
爲了簡單，這裏用少量數據構造一棵3叉樹的形式，實際應用中的B樹結點中關鍵字很多的。上面的圖中比如根結點，其中17表示一個磁盤文件的文件名；小紅方塊表示這個17文件內容在硬盤中的存儲位置；p1表示指向17左子樹的指針。
其結構可以簡單定義爲：
typedef struct {
/*文件數*/
int file_num;
/*文件名(key)*/
char * file_name[max_file_num];
/*指向子節點的指針*/
BTNode * BTptr[max_file_num+1];
/*文件在硬盤中的存儲位置*/
FILE_HARD_ADDR offset[max_file_num];
}BTNode;
假如每個盤塊可以正好存放一個B樹的結點（正好存放2個文件名）。那麼一個BTNODE結點就代表一個盤塊，而子樹指針就是存放另外一個盤塊的地址。
下面，咱們來模擬下查找文件29的過程：
-
根據根結點指針找到文件目錄的根磁盤塊1，將其中的信息導入內存。【磁盤IO操作 1次】
-
此時內存中有兩個文件名17、35和三個存儲其他磁盤頁面地址的數據。根據算法我們發現：17<29<35，因此我們找到指針p2。
-
根據p2指針，我們定位到磁盤塊3，並將其中的信息導入內存。【磁盤IO操作 2次】
-
此時內存中有兩個文件名26，30和三個存儲其他磁盤頁面地址的數據。根據算法我們發現：26<29<30，因此我們找到指針p2。
-
根據p2指針，我們定位到磁盤塊8，並將其中的信息導入內存。【磁盤IO操作 3次】
-
此時內存中有兩個文件名28，29。根據算法我們查找到文件名29，並定位了該文件內存的磁盤地址。
分析上面的過程，發現需要3次磁盤IO操作和3次內存查找操作。關於內存中的文件名查找，由於是一個有序表結構，可以利用折半查找提高效率。至於IO操作是影響整個B樹查找效率的決定因素。
當然，如果我們使用平衡二叉樹的磁盤存儲結構來進行查找，磁盤4次，最多5次，而且文件越多，B樹比平衡二叉樹所用的磁盤IO操作次數將越少，效率也越高。
3.4B樹的高度
根據上面的例子我們可以看出，對於輔存做IO讀的次數取決於B樹的高度。而B樹的高度由什麼決定的呢？
若 B樹某一非葉子節點包含N個關鍵字，則此非葉子節點含有N+1個孩子結點，而所有的葉子結點都在第I層。因爲根至少有兩個孩子，因此第2層至少有兩個結 點。除根和葉子外，其它結點至少有┌m/2┐個孩子，因此在第3層至少有2*┌m/2┐個結點，在第4層至少有2*(┌m/2┐^2)個結點，在第I層至 少有2*(┌m/2┐^(l-2) )個結點，於是有： N+1 ≥ 2*┌m/2┐I-2 考慮第L層的結點個數爲N+1，那麼2*(┌m/2┐^(l-2)）≤N+1，也就是L層的最少結點數剛好達到N+1個 即： I≤ log┌m/2┐((N+1)/2 )+2 所以，當B樹包含N個關鍵關鍵字時，B樹的最大高度爲l-1（因爲計算B樹高度時，葉結點所在層不計算在內） 即：log┌m/2┐((N+1)/2 )+1。 這個B樹的高度公式從側面顯示了B樹的查找效率是相當高的。
4.B+-tree
B+-tree：是應文件系統所需而產生的一種B-tree的變形樹。
一棵m階的B+樹和m階的B樹的異同點在於：
1.有n棵子樹的結點中含有n-1 個關鍵字； (與B 樹n棵子樹有n-1個關鍵字 保持一致，參照：http://en.wikipedia.org/wiki/B%2B_tree#Overview)
2.所有的葉子結點中包含了全部關鍵字的信息，及指向含有這些關鍵字記錄的指針，且葉子結點本身依關鍵字的大小自小而大的順序鏈接。 (而B 樹的葉子節點並沒有包括全部需要查找的信息)
3.所有的非終端結點可以看成是索引部分，結點中僅含有其子樹根結點中最大（或最小）關鍵字。 (而B 樹的非終節點也包含需要查找的有效信息)
a) 爲什麼說B+-tree比B 樹更適合實際應用中操作系統的文件索引和數據庫索引？
1) B+-tree的磁盤讀寫代價更低
B+-tree的內部結點並沒有指向關鍵字具體信息的指針。因此其內部結點相對B 樹更小。如果把所有同一內部結點的關鍵字存放在同一盤塊中，那麼盤塊所能容納的關鍵字數量也越多。一次性讀入內存中的需要查找的關鍵字也就越多。相對來說IO讀寫次數也就降低了。
舉個例子，假設磁盤中的一個盤塊容納16bytes，而一個關鍵字2bytes，一個關鍵字具體信息指針2bytes。一棵9階B-tree(一個結點最多8個關鍵字)的內部結點需要2個盤快。而B+ 樹內部結點只需要1個盤快。當需要把內部結點讀入內存中的時候，B 樹就比B+ 樹多一次盤塊查找時間(在磁盤中就是盤片旋轉的時間)。
2) B+-tree的查詢效率更加穩定
由於非終結點並不是最終指向文件內容的結點，而只是葉子結點中關鍵字的索引。所以任何關鍵字的查找必須走一條從根結點到葉子結點的路。所有關鍵字查詢的路徑長度相同，導致每一個數據的查詢效率相當。
讀者點評
本 文評論下第149樓，fanyy1991針對上文所說的兩點，道：個人覺得這兩個原因都不是主要原因。數據庫索引採用B+樹的主要原因是 B樹在提高了磁盤IO性能的同時並沒有解決元素遍歷的效率低下的問題。正是爲了解決這個問題，B+樹應運而生。B+樹只要遍歷葉子節點就可以實現整棵樹的 遍歷。而且在數據庫中基於範圍的查詢是非常頻繁的，而B樹不支持這樣的操作（或者說效率太低）。
b) B+-tree的應用: VSAM(虛擬存儲存取法)文件(來源論文 the ubiquitous Btree 作者：D COMER - 1979 )
5.B*-tree
B*-tree是B+-tree的變體，在B+樹的基礎上(所有的葉子結點中包含了全部關鍵字的信息，及指向含有這些關鍵字記錄的指針)，B*樹中非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指針；B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少爲(2/3)*M，即塊的最低使用率爲2/3（代替B+樹的1/2）。給出了一個簡單實例，如下圖所示：
B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的數據複製到新結點，最後在父結點中增加新結點的指針；B+樹的分裂隻影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指針。
B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那麼將一部分數據移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因爲兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，並各複製1/3的數據到新結點，最後在父結點增加新結點的指針。
所以，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高；
原文鏈接:http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6530142
備註:上面作者介紹的關於數據庫中的B樹 個人感覺還是可以的，通俗易通搭配着圖形的介紹,呵呵你也試試吧(建議有點數據結構的基礎知識再看本文)