[Python]最長公共子串、子序列

一、最長公共子序列

1.找出最優解的性質，並刻劃其結構特徵

序列a共有m個元素，序列b共有n個元素，如果a[m-1]==b[n-1]，那麼a[:m]和b[:n]的最長公共子序列長度就是a[:m-1]和b[:n-1]的最長公共子序列長度+1；如果a[m-1]!=b[n-1]，那麼a[:m]和b[:n]的最長公共子序列長度就是MAX（a[:m-1]和b[:n]的最長公共子序列長度，a[:m]和b[:n-1]的最長公共子序列長度）。

子串要求字符必須是連續的，但是子序列就不是這樣。最長公共子序列是一個十分實用的問題，它可以描述兩段文字之間的“相似度”，即它們的雷同程度，從而能夠用來辨別抄襲。對一段文字進行修改之後，計算改動前後文字的最長公共子序列，將除此子序列外的部分提取出來，這種方法判斷修改的部分，往往十分準確。
        解法就是用動態迴歸的思想，一個矩陣記錄兩個字符串中匹配情況，若是匹配則爲左上方的值加1，否則爲左方和上方的最大值。一個矩陣記錄轉移方向，然後根據轉移方向，回溯找到最長子序列。

2.遞歸定義最優值

def find_lcseque(s1, s2): 
	 # 生成字符串長度加1的0矩陣，m用來保存對應位置匹配的結果
	m = [ [ 0 for x in range(len(s2)+1) ] for y in range(len(s1)+1) ] 
	# d用來記錄轉移方向
	d = [ [ None for x in range(len(s2)+1) ] for y in range(len(s1)+1) ] 

	for p1 in range(len(s1)): 
		for p2 in range(len(s2)): 
			if s1[p1] == s2[p2]:            #字符匹配成功，則該位置的值爲左上方的值加1
				m[p1+1][p2+1] = m[p1][p2]+1
				d[p1+1][p2+1] = 'ok'          
			elif m[p1+1][p2] > m[p1][p2+1]:  #左值大於上值，則該位置的值爲左值，並標記回溯時的方向
				m[p1+1][p2+1] = m[p1+1][p2] 
				d[p1+1][p2+1] = 'left'          
			else:                           #上值大於左值，則該位置的值爲上值，並標記方向up
				m[p1+1][p2+1] = m[p1][p2+1]   
				d[p1+1][p2+1] = 'up'         
	(p1, p2) = (len(s1), len(s2)) 
	print numpy.array(d)
	s = [] 
	while m[p1][p2]:    #不爲None時
		c = d[p1][p2]
		if c == 'ok':   #匹配成功，插入該字符，並向左上角找下一個
			s.append(s1[p1-1])
			p1-=1
			p2-=1 
		if c =='left':  #根據標記，向左找下一個
			p2 -= 1
		if c == 'up':   #根據標記，向上找下一個
			p1 -= 1
	s.reverse() 
	return ''.join(s) 

print find_lcseque('abdfg','abcdfg')

二 最長公共子串(The Longest Common Substring)

LCS問題就是求兩個字符串最長公共子串的問題。解法就是用一個矩陣來記錄兩個字符串中所有位置的兩個字符之間的匹配情況，若是匹配則爲1,否則爲0。然後求出對角線最長的1的序列，其對應的位置就是最長匹配子串的位置。

def find_lcsubstr(s1, s2): 
	m=[[0 for i in range(len(s2)+1)]  for j in range(len(s1)+1)]  #生成0矩陣，爲方便後續計算，比字符串長度多了一列
	mmax=0   #最長匹配的長度
	p=0  #最長匹配對應在s1中的最後一位
	for i in range(len(s1)):
		for j in range(len(s2)):
			if s1[i]==s2[j]:
				m[i+1][j+1]=m[i][j]+1
				if m[i+1][j+1]>mmax:
					mmax=m[i+1][j+1]
					p=i+1
	return s1[p-mmax:p],mmax   #返回最長子串及其長度

print find_lcsubstr('abcdfg','abdfg')

運行得到輸出：('dfg',3)