用知識來計算出你表白成功的概率多大

  之前你已經瞭解概率的基礎知識（如果還不知道概率能幹啥，在生活中有哪些應用的例子，可以看我之前的《投資賺錢與概率》）。

今天我們來聊聊3種特殊的概率分佈，學會了你就是你知道了解決3種問題的“萬能模板”。

  這個知識目前來看，還沒有人令我滿意的答案，因爲其他人多數是在舉數學推導公式。我這個人是最討厭數學公式的，但是這並不妨礙我用統計概率思維做很多事情。相比熟悉公式，我更想知道學的這個知識能用到什麼地方。可惜，還沒有人講清楚。今天，就讓我來當回雷鋒吧。

• 首先，你想到的問題肯定是：

• 1. 什麼是概率分佈？
• 2. 概率分佈能當飯吃嗎？學了對我有啥用？

好了，我們先看第1個問題。

1、 什麼是概率分佈？

要明白概率分佈，你需要知道先兩個東東：

1）數據有哪些類型 
2）什麼是分佈 

• 數據類型（統計學裏也叫隨機變量）有兩種。

• 第1種是離散數據。

  離散數據根據名稱很好理解，就是數據的取值是不連續的。例如擲硬幣就是一個典型的離散數據，因爲拋硬幣的就2種數值（也就是2種結果，要麼是正面，要麼是反面）。
你可以把離散數據想象成一塊一塊墊腳石，你可以從一個數值調到另一個數值，同時每個數值之間都有明確的間隔。

• 第2種是連續數據。

  連續數據正好相反，它能取任意的數值。例如時間就是一個典型的連續數據1.25分鐘、1.251分鐘，1.2512分鐘，它能無限分割。連續數據就像一條平滑的、連綿不斷的道路，你可以沿着這條道路一直走下去。

• 什麼是分佈呢？

  數據在統計圖中的形狀，叫做它的分佈。
  其實我們生活中也會聊到各種分佈。比如下面不同季節男人的目光分佈.。
  各位老鐵，來一波美女，看看你的目光停在哪個分佈的地方。
  美女也看了，現在該專注學習了吧。現在，我們已經知道了兩件事情：

• 1）數據類型（也叫隨機變量）有2種：

離散數據類型（例如拋硬幣的結果），連續數據類型（例如時間）

• 2）分佈：數據在統計圖中的形狀

  現在我們來看看什麼是概率。概率分佈就是將上面兩個東東（數據類型+分佈）組合起來的一種表現手段：
概率分佈就是在統計圖中表示概率，橫軸是數據的值，縱軸是橫軸上對應數據值的概率。
很顯然的，根據數據類型的不同，概率分佈分爲兩種：

1、 離散概率分佈 
2、 連續概率分佈 

那麼，問題就來了。爲什麼你要關心數據類型呢？

  因爲數據類型會影響求概率的方法。

  對於離散概率分佈，我們關心的是取得一個特定數值的概率。例如拋硬幣正面向上的概率爲:p(x=正面)=1/2

  而對於連續概率分佈來說，我們無法給出每一個數值的概率，因爲我們不可能列舉每一個精確數值。

  例如，你在咖啡館約妹子出來，你提前到了。爲了給妹子留下好印象，你估計妹子會在5分鐘之內出現，有可能是在4分鐘10秒以後出現，或者在4分鐘10.5秒以後出現，你不可能數清楚所有的可能時間，你更關心的是在妹子出現前的1-5分鐘內（範圍），你把髮型重新整理下（雖然你因爲加班頭髮 已經禿頂了，但是髮型不能亂），給妹子留個好印象。所以，對於像時間這樣的連續型數據，你更關心的是一個特定範圍的概率是多少。

2、概率分佈能當飯吃嗎？學了對我有啥用？

  當統計學家們開始研究概率分佈時，他們看到，有幾種形狀反覆出現，於是就研究他們的規律，根據這些規律來解決特定條件下的問題。

  想起，當年爲了備戰高考，我是準備了一個自己的“萬能模板”，任何作文題目過來，我都可以套用該模板，快速解決作文這個難題。
  同樣的，記住概率裏這些特殊分佈的好處就是：

下次遇到類似的問題，你就可以直接套用“萬能模板”（這些特殊分佈的規律）來解決問題了。

3、接下里，我們一起來聊聊常見的4種概率分佈。

1）3種離散概率分佈

• 二項分佈
• 泊松分佈
• 幾何何分佈

2）1種連續概率分佈

• 正態分佈

在開始介紹之前，你先回顧下這兩個知識（不明白的，看我之前的《如何看懂數據》）：

期望：概率的平均值

標準差：衡量數據的波動大小。

1)1) 二項分佈

我們從下面3個問題開聊：

1. 二項分佈有啥用？
2. 如何判斷是不是二項分佈？
3. 二項分佈如何計算概率？

1)1)1. 二項分佈有啥用呢？

  當你遇到一個事情，如果該事情發生次數固定，而你感興趣的是成功的次數，那麼就可以用二項分佈的公式快速計算出概率來。
  例如你按我之前的《投資賺錢與概率》買了這5家公司的股票（谷歌，Facebook，蘋果，阿里巴巴，騰訊），爲了保底和計算投入進去多少錢，你想知道只要其中3個股票幫你賺到錢（成功的次數）的概率多大，那麼這時候就可以用二項分佈計算出來。
牛掰吧？

1)1)2. 如何判斷是不是二項分佈？

首先，爲啥叫二項，不叫三項，或者二愣子呢？
  故明思義，二項代表事件有2種可能的結果，把一種稱爲成功，另外一種稱爲失敗。
  生活中有很多這樣2種結果的二項情況，例如你表白是二項的，一種成功（恭喜你表白成功，可以戀愛了，興奮吧？），一種是失敗（被拒絕了，傷不傷心？）。
  你向老闆提出加薪的要求，結果也有兩種（二項）。一種是成功（加薪成功，老闆我愛你），一種是失敗（麻蛋，不給漲薪老子不幹了，像是這種有統計概率思維的人，是很稀缺的，明天就投簡歷出去）

• 那麼，什麼是二項分佈呢？只要符合下面3個特點就可以判斷某事件是二項分佈了：

1）做某件事的次數（也叫試驗次數）是固定的，用n表示。 
（例如拋硬幣3次，投資5支股票）， 

2）每一次事件都有兩個可能的結果（成功，或者失敗） 
（例如每一次拋硬幣有2個結果：正面表示成功，反面表示失敗。 
每一次投資美股有2個結果：投資成功，投資失敗）。 

3）每一次成功的概率都是相等的，成功的概率用p表示 
（例如每一次拋硬幣正面朝上的概率都是1/2。 
你投資了5家公司的股票，假設每一家投資盈利成功的概率都相同） 

4）你感興趣的是成功x次的概率是多少。那麼就可以用二項分佈的公式快速計算出來了。 
（你已經知道了我前面講的5家美股的賺錢概率最大，所以你買了這5家公司的股票，假設投資的這5家公司成功的概率都相同，那麼你關心其中只要有3個投資成功，你就可以賺翻了，所以想知道成功3次的概率） 

根據這4個特點，我們就知道拋硬幣是一個典型的二項分佈，還有你投資的這5支股票也是一個典型的二項分佈（在假設每家公司投資成功的前提下）。 

1)1)3. 二項分佈如何計算概率？

  怎麼計算符合二項分佈事件的概率呢？也就是你想知道下面的問題：
你拋硬幣3次，2次正面朝上的概率是多少？你買了這5家公司的股票，3支股票賺錢的概率是多大？
上面我們已經知道了二項分佈的4個特點，並知道每個特點的表示方法：

  1）做某件事次數是固定的，用n表示
  2）每一次事件都有兩個可能的結果（成功，或者失敗）
   3）每一次成功的概率都是相等的，成功的概率用p表示 4）你感興趣的是成功x次的概率是多少

  這時候，二項分佈的公式就可以發揮威力了：
  這裏你也別害怕數學公式，每一項的含義我前面已經講的很清楚了。這個公式就是計算做某件事情n次，成功x次的概率的。很多數據分析工具（Excel，Python，R）都提供工具讓你帶入你研究問題的數值，就能得到結果。
  例如，拋硬幣5次（n），恰巧有3次正面朝上(x=3，拋硬幣正面朝上概率p=1/2)，可以用上面的公式計算出出概率爲31.25%（用Excel的BINOM.DIST函數，Python，R都可以快速計算)

  二項分佈經常要計算的概率還有這樣一種情況：
  拋硬幣5次，硬幣至少有3次正面朝上（即x>=3）的概率是多少？
你能直接想到的簡單方法是：將恰巧有3次，恰巧有4次，恰巧有5次的概率相加，結果便是至少3次，爲50%。
  但是如果次數很多，這樣的辦法簡直是給自己挖了一個大大的坑。
  我們用逆向思維換個思路，至少3次正面朝上的反向思考是什麼呢？
反向思路就是最多2次正面朝上。只要我們先計算出最多2次正面朝上的概率p(x<=2)，那麼至少3次正面朝上的概率就是1-p(x<=2)。
  這樣用逆向思維，就把一個複雜的問題，化解爲簡單的問題。因爲求做多2次朝上的概率比較簡單：

p(x<=2)=p(0)+p(1)+p(2) 

最後提下二項分佈的：
期望E(x)=np （表示某事情發生n次，預期成功多少次。）

   知道這個期望有啥用呢？
  做任何事情之前，知道預期結果肯定對你後面的決策有幫助。比如你拋硬幣5次，每次概率是1/2，那麼期望E(x)=51/2=2.5次，也就是有大約3次你可以拋出正面。
  在比如你之前投資的那5支股票，假設每支股票幫你賺到錢的概率是80%，那麼期望E(x)=580%=4，也就是預期會有4只股票投資成功幫你賺到錢。

1)2) 幾何分佈

   其實我一直把幾何分佈，叫做二項分佈的孿生兄弟，因爲他兩太像了。只有1點不同，就像海爾兄弟只有內褲不同一樣。

• 我們還是從下面這個套路聊起來一起找出這個不同的“勁爆點”：

1. 幾何分佈有啥用？
2. 如何判斷是不是幾何分佈？
3. 幾何分佈如何計算概率？

1.幾何分佈有啥用？

  如果你需要知道嘗試多次能取得第一次成功的概率，則需要幾何分佈。

2. 如何判斷是不是幾何分佈？

  只要符合下面4個特點就可以判別你做的事情是就是幾何分佈了：

1）做某事件次數（也叫試驗次數）是固定的，用n表示（例如拋硬幣3次，表白5次）， 
2）每一次事件都有兩個可能的結果（成功，或者失敗）（例如每一次拋硬幣有2個結果：正面表示成功，反面表示失敗。 每一次表白有2個結果：表白成功，表白失敗）。 

3）每一次“成功”的概率都是相等的，成功的概率用p表示（例如每一次拋硬幣正面朝上的概率都是1/2。 假設你是初出茅廬的小夥子，還不是老油條，所以你表白每一次成功的概率是一樣的） 

4）你感興趣的是，進行x次嘗試這個事情，取得第1次成功的概率是多大。（例如你在玩拋硬幣的遊戲，想知道拋5次硬幣，只有第5次（就是滴1次成功）正面朝上的概率是多大。 

你表白你的暗戀對象，你希望知道要表白3次，心儀對象答應和你手牽手的概率多大。） 

正如你上面看到的，幾何分佈和二項分佈只有第4點，也就是解決問題目的不同。這個點夠不夠勁爆？（嘻嘻） 

3. 幾何分佈如何計算概率？

  用下面公式就可以了：
p爲成功概率，即爲了在第x次嘗試取得第1次成功，首先你要失敗（x-1）次。
假如在表白之前，你計算出即使你嘗試表白3次，在最後1次成功的概率還是小於50%，還沒有拋硬幣的概率高。那你就要考慮換個追求對象。或者首先提升下自己，提高自己每一次表白的概率，比如別讓自己的鼻毛長出來。我之前讀書的一個師兄，每天鼻毛長出來，看的我都噁心，何況其他人呢。
  幾何分佈的期望是E(x)=1/p。代表什麼意思呢？
  假如你每次表白的成功概率是60%，同時你也符合幾何分佈的特點，所以期望E(x)=1/p=1/0.6=1.67
所以你可以期望自己表白1.67次（約等於2次）會成功。這樣的期望讓你信息倍增，起碼你不需要努力上100次才能成功，2次還是能做到的，有必要嘗試下。
幾何分佈的標準差：

1)2)泊松分佈

• 還是同樣的味道，還是同樣的討論，我們一起通過下面3個問題了解這個泊松分佈。

1. 泊松分佈有啥用？
2. 如何判斷是不是泊松分佈？
3. 泊松分佈如何計算概率？

• 泊松分佈有啥用？

  如果你想知道某個時間範圍內，發生某件事情x次的概率是多大。這時候就可以用泊松分佈輕鬆搞定。比如一天內中獎的次數，一個月內某機器損壞的次數等。
  知道這些事情的概率有啥用呢？
  當然是根據概率的大小來做出決策了。比如你搞了個抽獎活動，最後算出來一天內中獎10次的概率都超過了90%，然後你順便算了下期望，再和你的活動成本比一下，發現要賠不少錢。那這個活動就別搞了。
  泊松分佈的形狀會隨着平均值的不同而有所變化，無論是一週內多少人能贏得彩票，還是每分鐘有多少人會打電話到呼叫中心，泊松分佈都可以告訴我們它們的概率。

2. 什麼是泊松分佈？

  符合以下3個特點就是泊松分佈：

1）事件是獨立事件（之前如果你看過我的《投資賺錢與概率》已經知道賭徒謬論了，所以類似抽獎這樣的就是獨立事件） 

2）在任意相同的時間範圍內，事件發的概率相同（例如1天內中獎概率，與第2天內中間概率相同） 

3）你想知道某個時間範圍內，發生某件事情x次的概率是多大（例如你搞了個促銷抽獎活動，想知道一天內10人中獎的概率） 

  用x代表事情發的次數（例如中獎10個人中獎），u代表給定時間範圍內事情發生的平均次數（例如你搞的抽獎活動1天平均中獎人數是5人），概率計算公式爲：
  可別被上面的公式嚇到，數學公式就是紙老虎，現在有很多工具（Excel，Python，R）都可以直接計算出來這個概率，所以也別記住這個公式，用的時候知道泊松分佈適合啥時候用就妥了。
  例如你搞了個促銷抽獎活動，只知道1天內中獎的平均個數爲5個，你想知道1天內恰巧中獎次數爲7的概率是多少？
  此時x=7，u=5（區間內發生的平均次數），代入公式求出概率爲10.44%。Excel中的函數爲POISSON.DIST就可以立馬算出來。

泊松概率還有一個重要性質，它的數學期望和方差相等，都等於u

1. 什麼是概率分佈？

  概率分佈就是在統計圖中表示概率，橫軸是數據的值，縱軸是橫軸上對應數據值的概率。

2. 概率分佈能當飯吃嗎？學了對我有啥用？

  下次遇到類似的問題，你就可以直接套用“模板”（這些特殊分佈的規律）來求得概率了。

3.特殊的概率分佈有哪些？

  3種離散概率分佈，分別代表瞭解決3種問題的“萬能模板”

1)3)二項分佈（Binomial distribution）

符合以下4個特點的就是二項分佈

1）做某件事的次數是固定的。 

2）每一次事件都有兩個可能的結果（成功，或者失敗） 

3）每一次成功的概率都是相等的 

4）你感興趣的是成功x次的概率是多少 

案例：
拋5次硬幣，有2次正面朝上的概率是多少

你買了之前我介紹你的5家公司的股票，假設投資的這5家公司成功的概率都相同，那麼你關心其中只要有3個投資成功，你就可以賺翻了，所以想知道成功3次的概率多大。

幾何何分佈（Geometric distribution）

只要符合下面4個特點就可以判別你做的事情是就是幾何分佈了： 

1）做某事件次數（也叫試驗次數）是固定 

2）每一次事件都有兩個可能的結果 

3）每一次“成功”的概率都是相等的，成功的概率用p表示 

4）你感興趣的是，進行x次嘗試這個事情，取得第1次成功的概率是多大。 

  案例：例如你在玩拋硬幣的遊戲，想知道拋5次硬幣，只有第5次（就是滴1次成功）正面朝上的概率是多大。
  表白3次，第3次成功的概率多大
泊松分佈（poisson distribution）

• 符合以下3個特點就是泊松分佈：

1）事件是獨立事件 

2）在任意相同的時間範圍內，事件發的概率相同 

3）你想知道某個時間範圍內，發生某件事情x次的概率是多大 

案例：例如你搞了個促銷抽獎活動，想知道一天內10人中獎的概率

例如你是公司質檢管理員，想知道一個月內某機器損壞的10次（假如超過10次一句認爲不合格）的概率是多少。

1種連續概率分佈：正態分佈（Normal distribution）

這個分佈在生活中太有用了，給我一種相見恨晚的“勁爆感”，留着下次聊

參考：

https://blog.csdn.net/yangzhongblog/article/details/77162906