徹底搞懂錯排公式

問題：現有10本書按照順序擺放，現要求重新排列，使得新的書的順序中每一本書都不在原來的位置，求有多少種排列方式？

這個問題推廣一下，就是錯排問題，是組合數學中的問題之一。考慮一個有n個元素的排列，若一個排列中所有的元素都不在自己原來的位置上，那麼這樣的排列就稱爲原排列的一個錯排。 n個元素的錯排數記爲D(n)。 研究一個排列錯排個數的問題，叫做錯排問題或稱爲更列問題

OK，現在詳細分析這個問題，我們要的最終結果就是書的編號與所在位置的編號不同，在這裏，我們把n本書的錯排操作數記爲D(n)，那n-1本就是D(n-1)，n-2本就是D(n-2)啦，下面，我們把放置問題分爲兩步（初始位置號與書的編號相同）：

第一步：

        我們取一本書，書的編號爲m，現在這本書就在我們手中，注意，按照題目要求，最開始的時候這本書的位置號也是m號，按照題目要求，我們現在放書時不能放回這個位置m了，而是要選擇其他位置，那麼有多少種選擇呢，想一下，總共有n本書，n個位置，現在我手裏這本書不能把它放到位置m，那麼剩下的n-1個位置我當然就是隨便扔啦，也就是n-1種扔法，好，現在，我選擇了位置k，我決定把手裏這本書放到位置k這裏，記住這個是位置編號k，那麼，我肯定要把原來這裏的編號爲k的書拿出來，再把這本編號爲n的書放進去嘍。所以，現在我們手裏的書的編號是k

第二步：

        我們把手裏這本編號爲k的書本放到書架，注意，放的過程中我們又面臨兩種情況，可以想到，此時此刻現在書架上編號m的位置是空着的，所以我們可以選擇放在這個位置上，書的編號爲k，位置編號爲m，沒錯，滿足題意，這是第一種情況，還有一種就是我不選擇這個空着的位置m，我再重新選擇一個新的位置，我們稱之爲第二種情況，下面詳細分析

第一種情況：我把這本編號爲k的書放到這個編號爲m的地址，那現在我們面前是什麼狀況呢，就是位置k和位置m的書交換位置，也就是位置號不等於書號，即滿足錯排，總共n個位置，我們只動了m和k這兩個位置，那麼剩下的n-2個位置還是紋絲不動，保持一一對應的關係呢，那麼對於剩下的這n-2本書的錯排操作，我們又回到了問題的起點，求n-2本的錯排操作數D(n-2)，結合第一步，我們可以得到第一種情況總共有(n-1)*D(n-2)種方法

第二種情況：我們不選擇這個空着的位置m啦，我們手持這本編號爲k的書，我們從除了位置m以及位置k的剩下的n-2個位置中選擇一個位置，OK，我們現在開始想，我手裏這本書不能放在這個位置m，嗯嗯，除了第一步我們放置的那本書m不用管了，我們還要搞手裏這本和剩下的n-2本，也就是n-1本，同時又要求手裏這本k還不能放到位置m，這是不是就相當於把手裏這本加上剩下的n-2本也就是n-1本書進行錯排呢，哇哇哇，想一想，錯排的定義，要求每本書都不能呆在某一個特定位置，是不是剛好符合呢qwq，所以，現在的爲題就到了求手裏這本和剩下的n-2本總共是n-1本書的錯排操作數，我們記爲D(n-1)，結合第一步，我們得出這第二種情況共有(n-1)*D(n-1)種方法

好的，現在我們總結兩種情況，結果進行相加，就可以得到遞推公式啦

遞推公式爲：