96. 不同的二叉搜索樹

題目地址：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/

給定一個整數 n，求以 1 ... n 爲節點組成的二叉搜索樹有多少種？

示例:

輸入: 3
輸出: 5
解釋:
給定 n = 3, 一共有 5 種不同結構的二叉搜索樹:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

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思路
遇到這類問題，我們先自己看幾個例子
n = 1，只有1種二叉搜索樹
n = 2，有兩種二叉搜索樹

1		  2
 \ 		   \
  2		    1

n = 3，有5種二叉搜索樹，如題。
拆解這道題，

• 1的右邊有n = 2（2，3），有2種可能
• 2的左右分別有n=1（1）和n=1(3)，有1*1種可能
• 3的左邊有n = 2（1，2），有2種可能
• 把以上幾種可能累加，正好是5種可能

我們可以總結規律
${f_n} = \sum\limits_{k=0}^{n-1}{f_k}{f_{n-k-1}}$
${f_n}$就是對應n的二叉搜索樹的數目。

參考代碼

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        if (n <= 2) return n;
        const int N = n + 1;
        int sol[N];
        
        sol[0] = 1;
        sol[1] = 1;
        sol[2] = 2;
        
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            sol[i] = 0;
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                sol[i] += sol[j] * sol[i - j - 1]; 
            }
        }
        
        return sol[n];
    }
};