【NOIP2018模擬11.7A組】scarborough fair

PROBLEM

求無向圖期望聯通快的個數。

SOLUTION

考慮將每一個聯通塊的貢獻獨立，我們需要得知一個聯通塊內部聯通的概率，與其不與外面任何一個點聯通的概率。

考慮一種經典的做法。我們要求聯通的概率，用1減去不連通的概率。我們設F[S]表示S這個聯通塊聯通的概率。轉移我們枚舉編號最小的點所在的子集，設爲T，那麼F[S]+=F[T]*e[T][S xor T]，e表示T這個子集不向另外節點連邊的概率，也就是T與S^T這兩個集合的邊斷開的期望。

這個東西我們可以求出S每條邊都不連的期望，除以T與S^T每條邊都不連的期望，就可以得到這兩個集合中間的那些邊不相連的期望。

最後枚舉集合，再枚舉集合的子集，總複雜度O（3^n）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long 
#define mo 998244353
#define maxn 21
using namespace std;

int n,m,Mx,S,S0,T,i,j,k,x,y,cnt;
ll ans,bet[1<<maxn],inv[1<<maxn],num[1<<maxn],f[1<<maxn],z,a[maxn][maxn];

int low(int x){return x&-x;}

ll ksm(ll x,ll y){
	ll s=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%mo) if (y&1)
		(s*=x)%=mo;
	return s;
}

int main(){
	freopen("fair.in","r",stdin);
	freopen("fair.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=0;i<n;i++) num[1<<i]=i;
	for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) a[i][j]=-1;
	for(i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
		a[x][y]=a[y][x]=z; 
	}
	bet[0]=1,inv[0]=1;
	for(S=1;S<1<<n;S++){
		i=num[low(S)];
		bet[S]=bet[S^(1<<i)];
		for(j=0;j<n;j++) if (j!=i&&a[i+1][j+1]!=-1&&((S>>j)&1)) 
			(bet[S]*=a[i+1][j+1])%=mo;
		inv[S]=ksm(bet[S],mo-2);
	}
	Mx=(1<<n)-1;
	for(S=1;S<1<<n;S++) {
		if (low(S)==S) f[S]=1; else{
			S0=S-low(S);
			for(j=S0;;j=((j-1)&S0)){
				T=low(S)+j;
				(f[S]+=f[T]*bet[S]%mo*inv[S^T]%mo*inv[T]%mo)%=mo;
				if (j==0) break;
			}
			f[S]=(1+mo-f[S])%mo;
		}
		(ans+=f[S]*bet[Mx]%mo*inv[Mx^S]%mo*inv[S]%mo)%=mo;
	}
	printf("%lld",ans);
}