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題目：給定具有n個元素的集合，找出最大的兩個元素，算法要求比較次數儘可能少
這個題目要做出來很簡單，但是要找出比較次數儘可能少的算法也不是件容易的事情。
對於這個題目，目前有三種方法比較流行。
第一種：對集合掃描兩遍（當然也可以掃描一遍，同時最大和第二大元素，但花費的比較次數和掃描兩遍，在最壞情況下是一樣的），第一遍找出最大的元素，第二遍從剩餘的元素中找出最大的元素，即整個集合的第二大元素。兩遍掃描需要的比較次數爲2*n-3次
第二種：將集合每兩個元素一組，分成n/2組，組內兩個元素先進行比較，初始化兩個元素，max1,max2,代表當前最大和第二大元素，然後從第一組開始，讓max1和max2,依次和每組進行比較，並更新max1和max2,得到最終的整個集合的max1和max2。整個過程需要的比較次數爲3*n/2次
第三種：此種方案，似乎被幾乎所有人認爲是最好的方案，可是事實卻是相反的！下面進行第三種方案的分析：
第一步：將集合每兩個元素一組，分成n/2組，組內元素進行比較，選出比較大的那個元素。
第二步：將第一步選出的n/2個元素遞歸使用第一步的處理方式。直到選出集合中最大的元素。
第三步：從和最大元素比較過的元素中，選出最大的元素即爲第二大元素。
從第三步可以看出，我們需要開闢一塊空間，在每一步中記錄和每一個元素比較過的元素集合。因爲，在第二部執行結束之前，我們並不知道最大元素是哪個元素。從第一步和第二步我們可以想象出來，整個比較過程像一棵二叉樹，先從n個子節點開始，一層一層比較，一直到根節點（最大元素）。兩個子節點的父節點是兩個子節點中較大的那個元素。因此我們可以得到和最大元素比較過的元素的個數等於樹的高度，即lgn，所以第三步需要的比較次數爲lgn-1,而第一步和第二步需要的比較次數爲n-1次，所以總的比較次數爲n+lgn-2次，似乎比第一種和第二種方案要好些。
但是，第三種方案需要一塊內存空間記錄和每一個元素比較過的元素，這個內存空間用數組表示是個二維數組（可以用鏈表等其他數據結構表示，不影響後面的分析結果），A[1..n][1..lgn],由於n是要處理元素的規模，因此，二位數組需要動態申請，並初始化，這需要花費nlgn的時間！！從這裏就可以看出來，第三種方案屬於撿了芝麻，丟了西瓜！因此，此種方案是不可取的。
我們可以嘗試着對第三種方案進行優化，能不能把A[1..n][1..lgn]二維數組優化爲一維數組。
我們可以在算法最開始的時候對集合掃描一遍，找到最大元素，這個時候，我們只需要一個大小爲lgn的一維數組來記錄和最大元素比較過的元素了，但是對集合掃描一遍需要n-1次比較，所以優化後的總的比較次數爲2*n+lgn-3次，還是比前兩種方案要差！！
注：在我們專注於比較次數的時候，忽略了賦值操作，在三種算法中賦值操作的次數不比比較次數要少，但是因爲三種算法的賦值操作次數差不多，上面的分析方法就忽略了賦值操作的影響。