Python3——np.linalg.norm

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在線性代數中，一個向量通過矩陣轉換成另一個向量時，原有向量的大小就是向量的範數，這個變化過程的大小就是矩陣的範數。

矩陣的範數

首先假設矩陣的大小爲m∗nm∗n，即m行n列。

1. 1-範數，又名列和範數。顧名思義，即矩陣列向量中絕對值之和的最大值。
   $||A||_1=\max_j{\sum_{i=1}^{m}{|a_{ij}}|}$
2. 2-範數，又名譜範數，計算方法爲$A^TA$矩陣的最大特徵值的開平方。
   $||A||_2=\sqrt{\max{(\lambda)}}$
3. $∞$-範數，又名行和範數。顧名思義，即矩陣行向量中絕對值之和的最大值。
   $||A||_1=\max_j{\sum_{i=1}^{n}{|a_{ij}}|}$
4. F-範數，Frobenius範數，計算方式爲矩陣元素的絕對值的平方和再開方。
   $||A||_F=\sqrt{\sum_{i=1}^{m}{\sum_{j=1}^{n}{|a_{ij}}|}}$

向量的範數計算方法有以下5種：

1. 1-範數，計算方式爲向量所有元素的絕對值之和。
   $||x||_1=∑_{i}^{n}{|x_i|}$
2. 2-範數，計算方式同歐式距離。
   $||x||_2=\sqrt{(∑_{i}^{n}|xi|^2)}$
3. $∞$-範數，所有向量元素中的最大值。
   $||x||_∞=\max_i|x_i|$
4. $−∞$−-範數，所有向量元素中的最小值。
   $||x||_-∞=\min_i|x_i|$
5. $p$-範數，所有向量元素絕對值的p次方和的1/p次冪。
   $||x||_2=\sqrt[p]{(∑_{i}^{n}|xi|^p)}$

在Python中，我們利用norm函數來計算範數，具體如下：

norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)是numpy庫裏linalg現行代數模塊中計算矩陣或向量範數的方法。

ord	矩陣範數	向量範數
None	Frobenius norm	2-norm
‘fro’	Frobenius norm	–
‘nuc’	nuclear norm 核範數是奇異值的和	–
inf	max(sum(abs(x), axis=1))	max(abs(x))
-inf	min(sum(abs(x), axis=1))	min(abs(x))
0	–	sum(x != 0)
1	max(sum(abs(x), axis=0))	as below
-1	min(sum(abs(x), axis=0))	as below
2	2-norm (largest sing. value)	as below
-2	smallest singular value	as below
other	–	$\sqrt[ord]{\sum(abs(x)^{ord})}$

參數
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x : 輸入數組，如果axis是None，那麼x必須是一維或二維
ord : 可選{非零整數, inf, -inf, ‘fro’, ‘nuc’}，具體如上表所示
axis : 可選{整數,2元組, None}
   如果“axis”是一個整數，它指定“x”的軸計算向量的範數。如果“axis”是一個二元組，則指定包含二維矩陣的座標軸，以及這些矩陣的矩陣範數計算。如果“axis”爲空，那麼是對整體所有的數計算。
keepdims : 布爾值, optional
   當 True時， 返回維度爲1的結果。
   當False時，結果將是根據原始的“x”的維度正確廣播。

注意：嚴格來說，當 ord <= 0 時，不符合數學上的範數公式，但它仍然適用於各種數值目的。

import numpy as np
a = np.arange(12)
print(a)
b = a.reshape((3, 4))
print(b)
print(np.linalg.norm(a))
print(np.linalg.norm(b))
print(np.linalg.norm(b, 'fro'))
print(np.linalg.norm(b, 'nuc'))

print(np.linalg.norm(a, np.inf))
print(np.linalg.norm(a, -np.inf))
print(np.linalg.norm(a, 1))

print(np.linalg.norm(b, np.inf, axis=1))
print(np.linalg.norm(b, -np.inf, axis=0))
print(np.linalg.norm(b, 1))

[ 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11]
[[ 0  1  2  3]
 [ 4  5  6  7]
 [ 8  9 10 11]]
22.4944437584
22.4944437584
22.4944437584
24.3646384993
11.0
0.0
66.0
[  3.   7.  11.]
[ 0.  1.  2.  3.]
21.0