關係數據庫理論之範式

前言

範式應該算是關係數據庫中的難點了，難就難在對關係的分解上。最近在學習關係數據庫理論，就想着可以利用文章將思路捋捋。本文主要論述的是範式中有關函數依賴的部分，包括第一範式(1NF)、第二範式(2NF)、第三範式(3NF)以及BC範式(BCNF)。至於基於多值依賴的第四範式暫時不做討論。本文中的例子舉自《數據庫原理及應用技術教程》(清華大學出版社)。

這裏小小的插一句，如果你對關係、元組、碼等這些專用名詞(一般在開發中至少我不會這麼說)看不慣的話，就比如我，可以參考如下的同義替換。

• 關係——二維表，也就是我們常說的數據庫中的表
• 元組——表中的記錄
• 碼——如果是主碼，就是主鍵的意思；若是外碼，就是外鍵的意思
• 關係模式——表的定義，也就是我們常寫的create table…語句

這四大範式的關係

在正式論述之前，還是有必要了解一下這四大範式之間的關係：隨着範式等級的增高，其限制也就越多，對數據庫中的數據冗餘，插入異常、刪除異常等的解決效果也就越好。1NF、2NF、3NF、BCNF的關係可以表示爲下圖。

函數依賴

概念

函數依賴是這四大範式的基礎概念，只有瞭解了什麼是函數依賴，才能明白這四大範式具體是在做什麼。
函數依賴中的函數一詞，指的是我們在數學中常提及的單值函數，例如
$y = ax+b$
其中，x叫自變量，y叫因變量。對於確定的自變量x，都有唯一的因變量y於其對應。
而函數依賴與其也相似，比如考慮以下關係：
SDC(SNO,SNAME,SAGE,DEPT,MN,CNO,GRADE)
SDC：關係名
SNO：學號
SNAME：姓名
SAGE：年齡
DEPT：系別
MN：系主任姓名
CNO：課程號
GRADE：成績
我們知道，在學校中，學號是唯一的，一個學生只能在一個系中學習，所以如果SNO確定，則SNAME、SAGE、DEPT也隨之唯一確定。我們就可以說(SNAME,SAGE,DEPT)函數依賴於SNO，記爲
$SNO \rightarrow SNAME$ （SNAME函數依賴於SNO。從後往前看，下同）
$SNO \rightarrow SAGE$
$SNO \rightarrow DEPT$
最後，我們給出函數依賴的定義

設關係模式R(U,F)，U是屬性全集，F是U上的函數依賴集，X和Y是U的子集，如果對於R(U) 的任意一個可能關係r,對於X的每一個具體值，Y都有唯一的具體值與之對應，則稱X函數決定Y，或Y函數依賴於X,記作$X \rightarrow Y$。

分類

函數依賴分爲：完全函數依賴、部分函數依賴、傳遞函數依賴

完全函數依賴

直接來看個例子，還是上面的SDC關係，在這個關係中，$SNO \nrightarrow GRADE$，因爲一個學生可以選修多門課程。$CNO \nrightarrow GRADE$，因爲一門課程會有多個成績。但是它們的組合就可以決定成績，即$(SNO,CNO) \rightarrow GRADE$。因爲學號確定了，課程號也確定了，這個學生的成績也就唯一確定了。
在$(SNO,CNO) \rightarrow GRADE$這個函數依賴關係中，(SNO,CNO)的真子集，也就是SNO、CNO，都不能唯一確定GRADE的值，我們就把這樣的函數依賴，稱爲完全函數依賴。記爲$(SNO,CNO)\rightarrow ^ fGRADE$。(f應該在箭頭上的，打不出來TAT。。。)，這裏f就是full(滿)的意思。
最後來看定義

設關係模式R(U) , U是屬性全集，X和Y是U的子集，如果$X \rightarrow Y$，並且對於X的任何一個真子集X’，都有$X' \nrightarrow Y$，則稱Y對X完全函數依賴。記作$X \rightarrow^f Y$。

部分函數依賴

還是上面的關係SDC。我們已經知道$SNO \rightarrow DEPT$，而我們也可以說$(SNO,CNO) \rightarrow DEPT$。此時，對於(SNO,CNO)的真子集SNO、CNO，有$SNO \rightarrow DEPT$、$CNO \nrightarrow DEPT$。此時，我們可以說DEPT部分函數依賴於(SNO,CNO)，記作$(SNO,CNO) \rightarrow^p DEPT$。這裏p就是partial(部分的)意思。
最後來看定義

設關係模式R(U) , U是屬性全集，X和Y是U的子集，如果對X的某個真子集X’，有$X' \rightarrow Y$，則稱Y對X部分函數依賴，記作$X \rightarrow^p Y$

只有當決定因素是組合屬性時，討論部分函數依賴纔有意義，當決定因素是單個屬性時，只能是完全函數依賴。

傳遞函數依賴

還是上面的關係SDC。$SNO \rightarrow DEPT$，因爲一名學生只能在一個系中上課。且$DEPT \rightarrow MN$，因爲一個系只能有一個系主任。所以在這裏SNO與DEPT就是傳遞函數依賴的關係，記作$SNO \rightarrow^t MN$。這裏t是transitive(可傳遞的)意思。
最後是定義

設關係模式R(U) , U是屬性全集，X、Y、Z 是U的子集，若$X \rightarrow Y$，但$Y \nrightarrow X$，而$Y \rightarrow Z$($Y\notin X$，$Z \notin Y$)，則稱Z對X傳遞函數依賴，記作$X \rightarrow^t Z$。

主屬性與非主屬性

在一個關係中，如果一個屬性或者幾個屬性能夠唯一標識一個元組，我們就把它稱爲候選碼。在衆多候選碼中，我們選擇其中的一個爲主碼。
包含在任何一個候選碼中的屬性，稱爲主屬性。不包含在任何碼中的屬性，稱爲非主屬性。

注：下面範式中，在定義裏出現的碼，個人認爲，爲了方便理解，可以全部認爲是主碼。若有不道之處，還請在評論區多多指出~

範式

第一範式

如果關係模式R，其所有的屬性均爲簡單的、不可再分的，則稱R屬於第一範式。

第一範式是對關係數據庫最起碼的要求。

例如我們在上面提及的SDC關係，它就滿足第一範式

但是，在SDC關係中，存在着非主屬性對碼的部分函數依賴，比如
$(SNO,CNO) \rightarrow^p DEPT$
這就會導致數據冗餘等問題(對於系別信息來說需要存儲多次，有多少個學生就要存儲幾次)，於是我們就需要第二範式。

第二範式

在關係模式滿足1NF的基礎上，且每個非主屬性都完全函數依賴於R的碼，則稱R屬於第二範式

對於SDC關係，(SNO,CNO)的關係組合爲這個關係的候選碼，也是主碼，因爲它能唯一標識一個學生的記錄。SNO、CNO爲主屬性，SNAME、SAGE、DEPT、MN、GRADE爲非主屬性。通過上面的論述，我們知道在這個關係中存在着部分函數依賴
$(SNO,CNO) \rightarrow^p DEPT$
其中，DEPT爲非主屬性，且它部分函數依賴於(SNO,CNO)，所以這個SDC關係就不滿足第二範式的定義。
究其原因，是因爲在SDC(SNO,SNAME,SAGE,DEPT,MN,CNO,GRADE)關係中，描述了不止一件事。它從大體上描述了兩個個實體：學生的基本信息、學生的選課和成績信息。
爲了消除部分函數依賴，我們儘量做到一個關係就描述一個實體。在SDC關係中，我們可以拆分爲三個實體
學生與系別關系：
SD(SNO,SNAME,SAGE,DEPT,MN)
學生選課關係
SC(SNO,CNO,GRADE)
在SD關係中，SNO爲主碼，決定因素，也爲主屬性，SNAME,SAGE,DEPT,MN爲非主屬性。上面我們提過，如果決定因素爲單屬性，只能是完全函數依賴。所以SD關係滿足第二範式的定義。
在SC關係中，(SNO,CNO)爲主屬性，GRADE爲非主屬性。然而，(SNO,CNO)的真子集SNO、CNO都不能唯一確定GRADE的值，因爲一個學生可以選修多門課程，而一門課程也可以由多個學生選修，它們之間是多對多的關係。根據完全函數依賴的定義，GRADE完全函數依賴於(SNO,CNO)。所以關係SC滿足第二範式的定義。

不難看出，在關係SD中，非主屬性MN與主屬性SNO存在傳遞依賴，這也會導致一定的數據冗餘，插入異常等問題，這時就要引入第三範式。
在第二範式中，存在着以下兩條結論：

• 從1NF關係中消除非主屬性對碼的部分函數依賴，則可以得到2NF關係。
• 如果R的碼爲單屬性，或R的全體屬性均爲主屬性，則R屬於2NF。

第三範式

在滿足第二範式的基礎上，如果關係模式R的每個非主屬性都不傳遞依賴於R的碼，則稱R屬於第三範式。

在第二範式中，我們將SDC關係分解成了SD和SC兩個關係，但是在關係SD中，SNO爲主屬性，DEPT爲非主屬性，存在$SNO \rightarrow DEPT$，且$DEPT \rightarrow MN$，而$DEPT \nrightarrow SNO$故$SNO \rightarrow^t MN$。也就是說MN傳遞依賴與SNO，所以關係SD不滿足第三範式的定義。
究其原因，是因爲在關係SD中，我們還分得不夠細，在關係SD(SNO,SNAME,SAGE,DEPT,MN)中，還描述了兩個實體，即學生和系別。
所以我們把它在進行分解：
學生關係：
S(SNO,SNAME,SAGE)
系別關系：
D(DEPT,MN)
在S關係中，SAME，SAGE均與SNO不存在傳遞依賴。
在D關係中，MN不與DEPT存在傳遞依賴。
故S關係與D關係滿足第三範式定義。

顯然，在SC關係中GRADE不會傳遞依賴於(SNO,CNO)
所以，SC滿足第三範式定義。

一般來說，在進行關係分解時，分解到3NF就足夠了。
但是2NF、3NF都只限制了非主屬性對碼的依賴關係，而沒有限制主屬性之間對碼的依賴關係，這依然可能存在着數據冗餘等問題，所以要引入BC範式。

BC範式

如果關係模式R屬於1NF，且所有的函數依賴$X \rightarrow Y$($Y\notin X$)，決定因素X都包含了R的一個候選碼，則稱R屬於BC範式。

定義看着很暈，對吧，不怕，我們來看一個例子。
設關係模式SNC(SNO,SNAME,CNO,GRADE)
SNO：學號
SNAME：學生姓名
CNO：課程號
GRADE：成績
假設這裏不存在重名現象。
不難看出，要想唯一標識這個關係中的一個元組，只要確定SNO、CNO的值或者SNAME、CNO的值就可以了。因爲不存在重名現象，一旦SNO確定，SNAME也隨之確定，而一個學生可以選修多門課程，一門課程只有一個成績，所以CNO也應該納入範圍。
在這個關係中，有兩個候選碼(SNO,CNO)和(SNAME,CNO)
在這個關係中，主屬性爲SNO、SNAME、CNO，非主屬性爲GRADE
所以，函數依賴關係如下：
$(SNO,CNO) \rightarrow GRADE$
$(SNAME,CNO) \rightarrow GRADE$
非主屬性GRADE，對(SNO,CNO)以及(SNAME,CNO)都爲完全函數依賴，且不存在傳遞依賴，所以SNC屬於第三範式。
我們現在着重看主屬性，由於SNO與SNAME是一對一的關係，所以存在着以下部分函數依賴
$(SNAME,CNO) \rightarrow^p SNO$
$(SNO,CNO) \rightarrow^p SNAME$
也就是說，在一個關係的主屬性中，存在這部分函數依賴，這就不滿足BC範式的定義。

BCNF的規範化是指把3NF關係模式通過投影分解轉換成BCNF關係模式的集合
注意：前提要是這個關係已經是3NF

在SNC關係中，我們描述了兩個實體，這兩個實體是學生關係和選課關係，我們把它們加以分解，就可以消除上面說的主屬性之間的函數依賴。
學生關係：
S(SNO,SNAME)
選課關係：
SC(SNO,CNO,GRADE)
在S關係中，SNO爲主屬性，且是單一的，不存在主屬性之間的部分函數依賴。非主屬性SNAME也與SNO不存在部分、傳遞函數依賴。
在SC關係中，SNO、CNO爲主屬性，它們之間也不存在部分函數依賴。非主屬性GRADE與(SNO,CNO)也不存在部分、傳遞函數依賴。
所以，它們都滿足BCNF。
最後說一說BCNF的性質：

• 滿足BCNF的關係減消除任何屬性(包括主屬性與非主屬性)對碼的部分函數依賴和傳遞函數依賴。也就是說，如果$R\in BCNF$，則R也是3NF。
• 如果$R\in 3NF$，則R不一定是BCNF。