【類歐幾里得算法】【JZOJ 6025】Cannon

Description

Analysis

一個很自然的想法是，由於k很大，我們二分一個分數，統計網格有多少個比它大
先不考慮如何二分分數，假裝我們已經得到了分數$\dfrac{a}{b}$，如何統計比它大的個數呢？直線上整點個數，媽媽我會類歐

類歐

我們要求的是這個$f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^n \lfloor \dfrac{ai+b}{c}\rfloor$

Case 1

若$a\geq c$或$b \geq c$顯然可以分離出常數項來，這是trivial的，此時
$f(a,b,c,n)=f(a \% c,b\%c,c,n)+\dfrac{n(n+1)a}{2c}+\dfrac{(n+1)b}{c}$
不在話下

Case 2

$a<c$且$b<c$，把上面那條搬下來，搞一波事情
$f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^n \lfloor \dfrac{ai+b}{c}\rfloor$
魔幻的一步：令$m=\lfloor \dfrac{an+b}{c}\rfloor$
則$f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^n \sum_{j=1}^m [\dfrac{ai+b}{c} \geq j]$
$=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{m-1} [ai \geq jc+c-b]$
$=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{m-1} [ai > jc+c-b-1]$
$=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{m-1} [i > \dfrac{jc+c-b-1}{a}]$
左邊只與$i$有關，爽了
$=\sum_{j=0}^{m-1} n-\lfloor\dfrac{jc+c-b-1}{a}\rfloor$
$=nm-f(c,c-b-1,a,m-1)$
我們發現第一、三個參數在模了之後調換了位置，這類似於歐幾里得算法，並且由歐幾里得算法知，這麼迭代下去複雜度也是一個log

代碼

ll f(ll a,ll b,ll c,ll n)//sigma (ai+b)/c
{
	if(a==0) return n*(b/c);
	if(a>=c || b>=c) return f(a%c,b%c,c,n)+n*(n+1)/2*(a/c)+(n+1)*(b/c);
	ll m=(a*n+b)/c;
	return n*m-f(c,c-b-1,a,m-1);
}

二分

然而二分分數是個棘手的問題（聽說可以二分實數強轉但具體不清楚）
今年WC上講了一個叫傻逼樹(Stern Brocot Tree)的東西來生成所有既約分數的姿勢，詳見scape鴿鴿的課件
在這棵樹上遍歷就相當於二分過程啦><
然而並不能一步步走qwq，注意到樹的深度是O(n)的，但是這棵樹一個性質是，從根走到任意一個分數，拐彎的次數不超過Log次
那麼在走的時候二分一下拐點就可以了
單次查詢就是3個log的