約瑟夫環：
它是一個數學的應用問題：已知n個人（以編號1，2，3…n分別表示）圍坐在一張圓桌周圍。從編號爲k的人開始報數，數到m的那個人出列；他的下一個人又從1開始報數，數到m的那個人又出列；依此規律重複下去，直到圓桌周圍的人全部出列。
算法原理：
約瑟夫環運作如下：
1、一羣人圍在一起坐成 [2] 環狀（如：N）
2、從某個編號開始報數（如：K）
3、數到某個數（如：M）的時候，此人出列，下一個人重新報數
4、一直循環，直到所有人出列 [3] ，約瑟夫環結束
應用場景：
猴子選大王：
由M（M <= 100）只猴子圍成一圈，從1到M進行編號，打算從中選出一個大王。經過協商，決定出選大王的規則：從第一個開始循環報數，數到N（N <= 100）的猴子出圈，最後剩下來的就是大王。問哪一個編號的猴子成爲大王。
通常解決這類問題時我們把編號從0~n-1，最後 [1] 結果+1即爲原問題的解。
首先，我們把這n個猴子的序號編號從0~n - 1（當m大於等於n時，第一個出列的猴子編號是m % n，但是m % n 可能等於0，如果從1開始，出現0這個情況，就會漏掉。這樣編號有助於簡化出列過程），當數到m - 1的那個猴子出列：
分析：
第一次出列：
所有猴子編號：0， 1， 2， 3， 4，… n - 2， n - 1
第一次出列的猴子編號爲 （m - 1）% n1， 之後它的下一個猴子又從0開始報數。
假設k1 = m % n1，（n1爲當前猴子總數），第一個猴子出列之後，k1則是下一次新的編號序列的首位元素。因此，可以得到新的序列：
k1, k1+1, k1+2, k1+3, …, n - 2, n - 1, 0, 1, 2, …, k1-3, k1-2 (k1 - 1 第一次已經出列)。我們知道，第一個猴子還是從0開始報數，可得：
0， 1， 2， 3，…， n - 2
注意：
第二次每個猴子報的相應數字與第一次時自己相應的編號對應起來。
0 ——>k1
1 ——>k1 + 1
2 ——>k1 + 2
…
n - 2 ——> (k1 + (n - 2)) % n1
(n1爲當前序列的總猴子數，因爲是循環的序列，k1+n-1可能大於總猴子數)。
現在我們要解決的就是n - 1階的約瑟夫問題。
後面的過程與前兩次的過程一模一樣，那麼遞歸處理下去，直到最後只剩下一個猴子的時候，便可以直接得出結果
當我們得到一個猴子的時候（即一階約瑟夫環問題）的結果。
假如得到了這個n-1階約瑟夫環問題的結果爲x（即最後一個出列的猴子編號爲x），那麼我們通過上述分析過程，可以知道，n階約瑟夫環的結果
(x + k) % n (n爲當前序列的總猴子數)，而k = m%n。
那麼有：
(x + m % n) % n，那麼我們還可以將該式進行一下簡單的化簡：
當m < n時，易得上式可化簡爲：（x + m）% n
而當m >= n時，那麼上式則化簡爲：（x % n + m % n % n）% n
即爲：（x % n + m % n）% n
而 （x + m）% n = （x % n + m % n）% n
因此得證
(x+ m % n) % n = （x + m）% n
這樣的話，我們就得到了遞推公式，由於編號是從0開始的，那麼我們可以令
f[1] = 0； //當一個猴子的時候，出隊猴子編號爲0
f[n] = (f[n-1] + m)%n //m表示每次數到該數的猴子出列，n表示當前序列的總猴子數。
代碼如下：
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
int n, m, i, x = 0;
Scanner sca = new Scanner(System.in);
n = sca.nextInt();
m = sca.nextInt();
for (i = 2; i <= n; i++)
{
x = (x + m) % i;
}
System.out.println(x + 1);
}
}
測試數據：
輸入 —— 輸出
14 3 ——> 2
11 3 ——> 7
2 3 ———> 2
2 2 ———> 1
3 3 ———> 2