今天下午 pk 和我討論了一個問題，他看到在另一個項目組的 lua 代碼裏有一段使用線性同餘產生隨機數的代碼，但是那個項目組的同事告訴他這個函數生成的隨機數是分佈不均的。於是他想到了我前兩天給他講的關於 lua 裏 % 這個取餘數的符號跟 c 語言裏的差別。由此展開了討論。
首先鋪陳背景，線性求餘生成隨機數的方式很普遍，對隨機數要求不高的代碼都可以使用這種方式，因爲它實現簡單，如果不知道原理的可以去 goole 一下。關於它所產生的隨機數是否在域上分佈均勻，暫且不論，權當均勻的吧。
我把代碼做了簡化，只留下最核心的幾行，我們來看一下，這個產生僞隨機數的算法是這樣的：
local IA = 3877 local IB = 29573 local g_seed = 42 function setseed(seed) g_seed = seed end function getrandom(max) max = max or 100 g_seed = g_seed * IA + IB print(g_seed) return g_seed % max end
還算是簡單的線性同餘，當然各種邊界條件的判斷我都省略了。
這段代碼的問題在哪裏呢？首先有個前提條件，就是在實際我們求隨機數的時候，不會去求一個負數域的隨機數，換句話說，調用 getrandom() 函數傳遞的 max 值肯定是大於 0 的。
線性求餘的公式倒是很簡單：y = kx + b。這裏我們的 k = IA = 3877，b = IB = 29573。爲什麼是這兩個數呢，自己 google 吧。
這種方法求隨機數，其實就是根據一個 x 值，來計算出 y 值，然後用 y 值模取隨機數範圍，並把這個 y 值作爲下一次調用時的 x 值。舉個例子，比如這裏最初的 x 值就是那個 g_seed = 42，爲什麼是 42 也自己 google 吧。然後我要求一個 100 內的隨機數，我調用一下 getrandom(100)，計算過程如下：
g_seed = 42 * 3877 + 29573 = 192407
結果爲 g_seed % 100 = 7
接着我又調用一次 getrandom(100) 想得到第二個隨機數，計算過程就變成：
g_seed = 192407 * 3877 + 29573 = 745991512
結果爲 g_seed % 100 = 12
當然我們肯定不會讓 g_seed 超過一個 double 能表示的整數範圍，額外處理這裏就不談了，這裏說明的是工作的原理就是這樣。
如果這個原理在 C/C++ 裏面是不會有問題的，但是對於 lua 來說，% 號確實放這裏不太合適，因爲 lua 裏 % 操作符等價於： a % b == a - math.floor( a / b ) * b
可以看這裏 http://www.lua.org/manual/5.1/manual.html#2.5.1
這樣會有什麼問題？由於我們一般不會 % 一個負數，因爲求隨機數範圍一般是正數，但是 g_seed 卻是可以由用戶來設置的，所以我們無法保證 g_seed 始終爲正數，根據上面這個等式，如果 a 爲負數，b 爲正數，那麼 lua 裏這個 % 的結果就肯定是一個正數。
這一點對我們的線性同餘求隨機數會造成什麼問題呢？
問題就在於它使得隨機的分佈不在均勻，當然前提是我們假設之前的分佈是均勻的。它使得當 g_seed 爲負數時，原本應該得到負數隨機數結果的那部分值變爲了正數，導致隨機數分佈向一方傾斜。
我們先來看線性同餘的一些性質，令最初的 x 爲 x[0]：
我們發現線性同餘求得的隨機數分別是：
x[1] = kx[0] + b
x[2] = k^2x[0] + kb +b
……
r[1] = (kx[0] + b) % max
r[2] = (k^2x[0] + kb +b) % max
r[3] = (k^3x[0] + k^2b + kb + b) % max
……
我們來考慮 x[n]， x[n] = k^nx[0] + b(k^n-1)/(k-1)
因爲我們來看函數 y = 3877x + 29573 的函數圖形：
可以看到，如果 x[0] 取一個正數，那麼下一個 x[1] 會是一個更大的正數，之後的所有 x 都會更大；如果 x[0] 取一個比較大的負數的時候，之後的 x 都會是更大的負數，那麼必然存在一個轉折點，x[0] 取這個值的時候，之後的所有 x 都等於 x[0] ，這也就是這個函數的不動點，對於我們這段代碼來說，令 3877x + 29573 = x，可以求出 x = - 29573 / 3876，如果 g_seed 最開始取了這個不動點的值，那麼這個求隨機數的算法就廢了，因爲每次的隨機數都是一樣的。
我其實想知道的是，最開始 g_seed 需要取一個怎麼樣的數，能夠保證之後的所有 g_seed 都是單調增加的。當然只有當 g_seed 的取值範圍存在負數的時候，我們的隨機結果纔是分佈不均勻的。對這段代碼來說，想要分佈均勻，只需要最初的 g_seed 爲非負數就不會有問題。
我們來尋找更普遍的性質，如果不改變這段代碼的寫法，依然使用 lua 的這個 % 操作符的含義（a % b == a - math.floor( a / b ) * b）來線性求餘數產生僞隨機數時，如果要保證隨機數分佈均勻，那麼必須保證 x[n] 恆爲非負數（n>=1）。
也就是 x[n] = k^nx[0] + b(k^n-1)/(k-1) 要恆大於等於 0（n>=1） 。k，b，x[0] 均爲常數，我們整理得到：
x[n] = (x[0] + b/(k-1))k^n - b/(k-1)
對它求導得到：
x'[n] = (x[0] + b/(k-1))k^nlnk
我們想知道當 b 和 k 確定時（k～=0）， x[0] 取什麼數時，（1）x[1] >= 0 且 （2）x'[n] > 0。
（1） =》x[0] >= -b/k
（1）帶入（2）得到：
並且我們還發現一點，就是當 k > 1 的時候，x[n] 的絕對值隨着 n 的增大是越來越大的，當 0 < k < 1 的時候， x[n] 的絕對值是收斂到 b 的絕對值的。
應用這個表我們最後知道，對於這段代碼的 k，b 來說，x[0] 也就是 g_seed 最小不能小於 -29573 × 3878 / 3877^2，差不多是 -7.6 左右，只要最初的 g_seed 比這個值大，那麼這段代碼求出來的隨機數就可以看作是沒有問題的。
至此終於知道這段代碼風險在哪了，不過既然知道了，就動手改一下唄，可代碼是別人的動不得，囧。最近我要離職了，準備找一個新的環境，不知道朋友們有沒有覺得靠譜的地，向我推薦下唄：）