數學學習

前言

  • 看了永野裕之先生的數學書《數學好的人是如何思考的》,感覺印象深刻,遂把整書結構思想摘抄總結如下。

數學實用性

  • 愛因斯坦:所謂教育,是忘卻了在學校學得的全部知識之後所剩下的本領。爲了讓這個本領能便利地解決社會中面臨的諸多問題,教育應該培養的是能夠獨立思考和獨立行動的人。

  • 因此,凡是不能夠獨立思考和獨立行動的人,要麼是接受的教育不行,要麼是懶惰。

  • 通過“畫面感”和“重新制定計劃”來學習和以前不一樣的數學。

初中數學背後的7個技能(邏輯思考的提示)

  1. 概念理解(聯想)
  2. 看穿本質(廣義化)
  3. 合理解題(過程)
  4. 抓住因果關係(相似)
  5. 增加信息(相似歸納)
  6. 令人信服(證明)
  7. 從局部看整體(概率統計)

解決數學題的10個思路(共通性的基本思考方法)

  1. 降低次方和次數
  2. 尋找週期性和規律性
  3. 尋找對稱性
  4. 逆向思維
  5. 與其考慮相加,不如考慮相乘
  6. 相對比較
  7. 歸納性的思考實驗
  8. 數學問題的圖像化
  9. 等值替代
  10. 通過終點來追溯起點

數學和算數

  • 算數是結果,爲生活服務,因此學習算數的關鍵是記住方法,然後反覆練習提高速度,以解決模式化的問題。任務完成。
  • 數學是過程,爲解決問題服務,因此,學習數學不是爲了生活,而是爲了鍛鍊邏輯思維能力,從而解決未知的問題。
  • 綜上:算術追求的是結果的正確性,數學則追求的是邏輯的正確性,換句話說就是過程的嚴謹與合理。
  • 這個時代更加需要數學,因爲麻省理工學院媒體實驗室的所長伊藤穰一說:世界變化如此之快,地圖已經毫無用處。我們需要的是指南針。

學術學習方法摘要

  • 切勿死記硬背
    • 死記硬背是懶惰的表象,相對懶惰,因爲有些,或者許多人死記硬背都不願意,想要坐享其成。
    • 有些知識需要背,但是如果對於新知識,思考其對應的現實含義,背誦則會更加高效且便捷。
  • 多問爲什麼
    • 數學是爲了解決未知的問題的,所以記住已有的題的意義就是能夠舉一反三,通過已有的問題的總結,能夠適用於任何問題的解決技巧和捷徑。但是這些方法捷徑很難通過定理、公式和解題方法表現出來,而我自己有比較懶惰,沒有思考,所以我目前沒有學會。
  • 重新定義
    • 同切勿死記硬背,賦予新知識自己的理解,進行重新定義,能夠幫助記憶,抓住本質。
  • 證明公式定理
    • 通過證明定理,體會大師們的思路。
  • 聞 – 思 – 教 三步走
    • 默而識之,學而不厭,誨人不倦

技能詳解

概念理解

  • 如果只是囫圇吞棗地接受看到的東西,你就很難發現隱藏在其深處的真理。但是,如果能通過概念進行分析,我們的思考就是無限的,哪怕是宇宙中遙不可及的神祕世界,我們也能嘗試一探究竟。我認爲智慧與概念息息相關。通過創創造概念、深化概念,我們才能理解世界,可以說,數學的歷史就是概念的歷史。
    • 對“質數”的理解
      • 數的原子結構-分解質因數
        • 分解質因數的步驟
          • 依次除以能夠整除的數的質數
          • 把用於分解的質數和剩下的質數寫成乘積形式
      • 分解質因數告訴我們一個道理:將每個東西分解爲不可再分的質數,無論是解決“公因數”還是“公倍數”的問題,都是最有效的方法。當然,發現事物的“質”絕非易事,但只要我們追根溯源,就能發現事物的本質,所以我希望大家在思考問題時候不要半途而廢,要有追根究底的精神。
      • 貌似,這次探索確實對我有幫助,以前就沒有發現。
    • 把無法抓住本質的數(無理數)作爲概念理解
      • 有理數–有比數
      • 無理數–無比數
      • 爲了計算,自然數誕生了;爲了分配、求算比例,分數誕生了;爲了表示“無”,0誕生了,爲了在同一個概念中掌握相反的概念,負數誕生了。

看穿本質

  • 一定要懂得從海量信息中,篩選出自己想要的信息並抓住其本質。
    • 首先若能將對象一般化,我們便能統一處理龐大的信息,另外,如果能意識到某個問題的基本組成要素,我們就能認識到眼前問題的複雜性,並能找到處理方法。並且,數學可以幫助我嗎們推斷沒有的東西。
    • 數學和算數的最大區別,解決數學問題用負數和字母。用字母代替數字(代數?)
    • 本質就是概念。理解概念是學習數學的一大目標。
    • 抓住事物的本質,總結出共同的概念,這就是所謂的一般化,數學的基本精神就是從多個具體事例中找出潛在的本質。因此,在學習數學的過程中,我們應該隨時想到用字母來表示對象。
    • 次數:相乘的字母的個數。
    • 因式分解
      • 因式分解的意義在於增加的式子的信息量,就像做輔助線增加圖像的信息量一樣。但是,因式分解後,做完輔助線後,我們要利用好其他的式子的基本變形,通過輔助線構造的平行相似,再進行下一步操作。
      • 因式分解基本要求
      • 提取公共的因數
      • 對最低的字母進行整理
      • 再利用現成的因式分解公式

合理解題

  • 要點
    • 正確的過程
    • 總結規則
    • 模式化
  • 等式的性質及其重要性
    • 邏輯推理的前提
    • 詭辯的產生
    • 0不可作爲除數的原因
      • 證明2=1
  • 聯立方程組
    • 方程增加約束,未知數的個數又稱自由度
    • 代如法解決方程及加減法解方程
    • 代入法解方程組
    • 只要是帶有字母的方程,我們就必須時刻不忘消去未知數,這是解答代數問題最重要的基本方針。時刻遵循確定要消去的字母->對確定的字母進行求解->帶入其它式子進行解方程
  • 完全掌握初中數學式子變形的知識點的知識點–完全平方
    • 完全平方的基礎式
      x2+2kx=(x+k)2k2 x^2 + 2kx = (x + k)^2 - k^2
      式子的特點,第二個k爲第一個k的一半,第三個k爲第二個k的平方,內部2
      K的一半,減去外面K的平方
  • 例子
    x2+6x=(x+3)29 x^2+6x=(x+3)^2-9
  • 3爲6的一半,9爲3的平方。3爲上面公式的K,K爲核心。

抓住因果關係

  • 要點
    • 找出單射(最基本的單射–比例)
    • 熟練掌握並利用“線性”與“非線性”的關係
    • 由“比例”走進函數的世界。函數關係就是指因果對應的關係。一次函數是線性函數,我們可以通過一次函數認識世界;二次函數事“非線性”函數,我們可以通過二次函數表現真實的世界。
    • 線性代數:線性代數是在求解聯立一次方程組的基礎之上展開的。

增加信息

  • 要點
    • 從方法中探索原理
    • 準備有效的核對清單
    • 分類
    • 找出相似之處
      • 初中數學中代數與幾何各佔半壁江山,但是幾何問題就像猜謎語,無法明確的提高邏輯思維能力,所以高中以後幾何就變少了,但是也會有一些作用,比如提高信息量。
      • 輔助線不是隨意畫的。平行線的作用正是獲得“更多有用的信息”。
      • 垂直平分線
      • 角平分線
      • 做出這些東西后,思考垂直平分線的定義與性質,然後這些定義和性質就是能帶來的信息量。
  • 方法中的原理:忽略原理,你找的所謂捷徑也是繞遠路,而且很難達到目的。
    • 知道“方法”總是比沒有好,但是僅僅滿足方法,就會忽略其中的本質,在學習做圖中,學生可能會通過記住方法在學生中得分,但是如此,就壓制了他們的好奇心。我認爲,問(而且是一直問)“爲什麼”是掌握數學技能 的唯一“資質”。放大方法的作用,是一件令人遺憾的事。
  • 準備清單以便高效率的收集信息
    • 應用:證明全等三角形的方法思想
    • 三角形若干角相等,邊相等,三角形全等。
  • 分類歸納信息(定義)
    • 等腰三角形
    • 正三角形
    • 平行四邊形
    • 長方形
    • 菱形
    • 正方形
    • 行星分類
  • 信息量最多的圖形
  • 相似的核心思想:成比例
    • 通過相似圖形的知識點,在生活中找相似的事和物,信息量增多的同時,還能發現很多隱藏的性質。
    • 芥川龍之介:“人生就好像一盒火柴,如果很小心翼翼地對待它,是有些可笑的;可是如果不認真對待它,又是很危險的。”
    • 不只是這句話的比喻,當你發現某個東西和另一個東西很相似的時,會有一種豁然開朗的感覺,當用舉例子進行論證的時候,自己滿意,別人也更加容易理解,類比是論證中最爲重要的方法。

令人信服

  • 要點
    • 明確假設、結論
    • 簡明地證明“假設”的原因
    • 不要現學現賣
  • 邏輯正確(利用數學證明),就能擁有壓倒性的說服力,任何人都無法違抗真理
  • 邏輯的基礎
    • 假設和結論
    • 芝諾悖論(追烏龜的故事)
  • PAC思考法
Created with Raphaël 2.2.0P(Premise:前提/事實)A(Assumption:假設)C(Conclusion:結論)
  • 在中學數學中,很少提到“前提”一詞,但是在我們日常生活中,偶爾會遇到前提有些奇怪的“邏輯”。欺詐的“邏輯”大多數都是這個模式。即使“假設->結論”的邏輯無懈可擊,但是如果你覺得可疑的話,不妨關注一下前提P,琢磨一下前提是否存在問題。
    • 1+1在二進制的條件下成立。
  • 愛因斯坦說:常識就是人在十八歲之前形成的各種偏見。
  • 由於生長環境的不同,我們的常識可能對對方而言並非常識。要和背景不同的人展開合乎邏輯的討論,切記在討論之前,認真確認前提。(和哲學終極三問的第一問:是何如此相像。)
  • 數學考試的目的
    • 邏輯表達能力(人話就是能夠一五一十的寫出得到答案的過程)
  • 數學考試是加分項
    • 對於考生而言,只能通過答案展示自己的實力,而對於評分老師而言,答案紙上所有內容都是對考生做出評價的參考資料。考生必須在答案中將自己掌握東西全部表現出來。
    • 我們無需複製習題集裏那種格式工整的答案,只需按照自己的思想,想到哪兒就寫到哪兒,想到多少就寫多少。因爲數學是加分制,寫多不扣分。
    • 不用擔心答案寫的太多。在答題的時候,清楚地意識到,答案紙是展現自己實力的唯一舞臺,因此,多寫一點纔不會失去表現的機會。
    • 如果想寫出能得高分的答案,就要把閱卷“老師”當成自己的朋友,他的數學比你差,因此,你一定要詳細地寫出答題過程,只有這樣,他才明白答案是怎麼得來的。
  • 證明題的書寫方法
    • 基於假設,有條不紊地展開推到,最終得出結論。這是解題方法,也是寫證明題應遵循的順序。
    • 許多人在學生時代都不擅長做證明題,數學磨鍊的是一個人的邏輯思考能力,從這個角度來看,證明題的作用尤爲重要。
    • 要點
      • 清楚地寫明假設和結論
      • 完整地寫出由假設得出結論的理由
      • “A等價於B等價於C等價於D”和“如果”同時存在時,應寫明“如果”出現的條件和結果
      • 站在讀者的立場,耐心地寫清楚證明過程。
Created with Raphaël 2.2.0擺出假設(前提)寫出原因(推理)得出結論
  • 站在別人的立場,這一條乍看之下有點道德約束,實際上這一點非常重要,寫證明題,最忌諱的就是自說自話。

  • 正多邊形的個數爲有限個的證明過程

    • 學習證明過程的思想不在於知道一個真理,而是體會發現真理的過程。背誦一個理論,在大多數是沒有用處的,但是如果親自驗證,就能夠理解理論得來的過程,理論就變的有意義。
  • 勾股定理

    • 深奧的“邏輯之森”的入口
  • 學習數學並不是培養利用公式來解決模式化問題的能力,而是要磨練運用邏輯思維解決未知問題的能力。 從培養邏輯思維的角度來看,證明勾股定理是初中數學學習的重中之重,勾股定理作爲高中的“邏輯之森”的路口,蘊含着耐人尋味的美景。(普通的我們只需要欣賞邏輯的美麗,探尋蠻荒之地交給科學家)

從局部看整體

  • 要點
    • 挑選“代表”
    • 不依賴直覺
    • 不傾向使用混雜的數據
  • 統計
    • 包括描述統計學與推斷統計學
  • 概率
    • 破除錯覺
  • 抽樣調查
    • 以小見大
    • 進階:將數據的分佈帶入考慮

綜合問題——如何使用7個技能

  • 看書吧

總結

從“數與式”與“函數中”,期望能夠通過邏輯思維解決問題。
從圓與三角形圖形知識中,體會分類和制約中發現潛在性質的方法,以及從假設導出結論的證明過程。

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