卡特蘭數及應用

卡特蘭數（Catalan Number）是一連串整數序列，其通項公式爲
$Catalan(n)=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}$

前幾項爲（從0開始）：
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452
應用

1. Duck Word： 設一個字符串長度爲2n，分別由n個x和y組成，求所有的前綴子串皆滿足x的個數大於等於y的個數，帶入公式計算，假設n=3：
   $Catalan(2n)=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}=\frac{C_{6}^{3}}{4} =5$
   可以看出共有5種情況，以下設這五種序列
   XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

2. 將上述的X換成左括號，Y換成右括號，就可以將問題改成求有多少組包含n組括號的合法運算公式個數
   ((()))     ()(())()       ()()()     (())()      (()())

3. n個節點組成的不同構二叉樹個數

4. 2n+1個節點組成的不同構滿二叉樹個數
   注意：這裏的滿二叉樹定義爲：只含有葉子節點以及度爲0的節點的二叉樹
   
   以上均爲滿二叉樹，只含有度爲0和2的結點，不含有度爲1的結點

5. 通過連結頂點而將n + 2邊的凸多邊形分成三角形的方法個數
   上圖所示，六邊形爲Catalan（4），共有4中劃分方法

6. 表示n個元素的進出棧置換個數

7. 表示所有在n × n格點中不越過對角線的單調路徑的個數
   上圖n=4，結果爲Catalan(2n)

遞推公式：

$Catalan(n)=Catalan(n-1)*\frac{4*n-2}{n+1}$
做題數據不大的時候可以BigInteger打表O(∩_∩)O

BigInteger[] a=new BigInteger[105];
a[0]=BigInteger.ONE;
for(int i=1;i<101;i++) {
	a[i]=a[i-1].multiply(BigInteger.valueOf(4*i-2)).divide(BigInteger.valueOf(i+1));
}