[Educational Codeforces Round 32] - G Xor-MST

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題意翻譯

已知一個$n$個節點的無向完全圖，第$i$個節點的權值爲$a_i$,$i$與$j$的邊的權值是$a_i \bigoplus a_j$,求該圖的MST的權值

解題分析

貪心地想， 從高位往低位考慮， 我們一定是先考慮在這一位都爲$1$或都爲$0$的數之間連上邊， 形成大的連通塊， 這樣能保證最後答案一定最小。

然後就有了一個類似CDQ的做法： 每次把當前位爲1的搞在一起， 爲0的搞在一起， 遞歸下去處理， 然後再考慮$01$之間的連邊。

然後發現這麼搞之後每次$01$塊之間都只需要連一條邊即可滿足， CDQ也只是一個空架子， 直接上$Trie$樹， 枚舉左右兒子較小的子樹中的所有元素， 去另一個子樹中找到最優解就好了。

總複雜度$O(Nlogmax(a_i)logN)$。

代碼如下：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 205000
#define ls tree[now].son[0]
#define rs tree[now].son[1]
#define ll long long
template <class T>
IN void in(T &x)
{
	x = 0; R char c = gc;
	for (; !isdigit(c); c = gc);
	for (;  isdigit(c); c = gc)
	x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
template <class T> IN T max(T a, T b) {return a > b ? a : b;}
template <class T> IN T min(T a, T b) {return a < b ? a : b;}
int n, cnt,root;
struct Node
{
	int son[2];
	std::vector <int> ele;
} tree[MX * 30];
int val[MX];
ll ans;
void insert(int &now, R int val, R int dgt)
{
	if (!now) now = ++cnt;
	tree[now].ele.push_back(val);
	if (dgt < 0) return;
	int bit = (val >> dgt) & 1;
	if (!bit) insert(ls, val, dgt - 1);
	else insert(rs, val, dgt - 1);
}
int calc(R int now, R int val, R int dgt)
{
	if (dgt < 0) return 0;
	int bit = (val >> dgt) & 1;
	if (tree[now].son[bit]) return calc(tree[now].son[bit], val, dgt - 1);
	else return calc(tree[now].son[bit ^ 1], val, dgt - 1) + (1 << dgt);
}
void DFS(R int now, R int dgt)
{
	if (dgt < 0) return;
	if (ls) DFS(ls, dgt - 1);
	if (rs) DFS(rs, dgt - 1);
	if (ls && rs)
	{
		int best = INT_MAX;
		if (tree[ls].ele.size() < tree[rs].ele.size())
		for (R int i = tree[ls].ele.size() - 1; ~i; --i)
		best = min(best, calc(rs, tree[ls].ele[i], dgt - 1));
		else
		for (R int i = tree[rs].ele.size() - 1; ~i; --i)
		best = min(best, calc(ls, tree[rs].ele[i], dgt - 1));
		ans += best + (1 << dgt);
	}
}
int main(void)
{
	in(n);
	for (R int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		in(val[i]);
		insert(root, val[i], 30);
	} 
	DFS(root, 30);
	printf("%lld\n", ans);
}