轉：https://www.cnblogs.com/ben-ben/articles/3391781.html
一百年前的數學界有兩位泰斗：龐加萊和希爾伯特，而尤以後者更加出名，我想主要原因是他曾經在1900年的世界數學家大會上提出了二十三個著名的希爾伯特問題，指引了本世紀前五十年數學的主攻方向，不過還有一個原因呢，我想就是著名的希爾伯特空間了。
希爾伯特空間是希爾伯特在解決無窮維線性方程組時提出的概念，原來的線性代數理論都是基於有限維歐幾里得空間的，無法適用，這迫使希爾伯特去思考無窮維歐幾里得空間，也就是無窮序列空間的性質。
大家知道，在一個歐幾里得空間R^n上，所有的點可以寫成爲：X=（x1，x2，x3，...，xn）。那麼類似的，在一個無窮維歐幾里得空間上點就是：X=（x1，x2，x3，....xn，.....），一個點的序列。
歐氏空間上有兩個重要的性質，一是每個點都有一個範數（絕對值，或者說是一個點到原點的距離），||X||^2=∑xn^2，可是這一重要性質在無窮維時被破壞了：對於無窮多個xn，∑xn^2可以不存在（爲無窮大）。於是希爾伯特將所有∑xn^2爲有限的點做成一個子空間，並賦以 X*X'=∑xn*xn' 作爲兩點的內積。這個空間我們現在叫做 l^2，平方和數列空間，這是最早的希爾伯特空間了。
注意到我只提了內積沒有提範數，這是因爲範數可以由點與自身的內積推出，所以內積是一個更加強的條件，有內積必有範數，反之不然。只有範數的空間叫做Banach空間，（以後有時間再慢慢講:-） 。
如果光是用來解決無窮維線性方程組的話，泛函就不會被稱爲現代數學的支柱了。
Hilbert空間中我只提到了一個很自然的泛函空間：在無窮維歐氏空間上∑xn^2爲有限的點。這個最早的Hilbert space叫做l^2（小寫的l 上標2，又叫小l2空間），非常類似於有限維的歐氏空間。
數學的發展可以說是一部抽象史。最早的抽象大概是一個蘋果和一頭牛在算術運算中可以都被抽象爲“一”，也就是“數學”本身的起源（脫離具體物體的數字運算）了，而Hilbert space理論發展就正是如此：“內積 + 線性”這兩個性質被抽象出來，這樣一大類函數空間就也成爲了Hilbert space。
單位閉區間上所有平方可積的實函數（就是說 f（x）的平方在[0，1]上的積分存在且有限）按照函數的加法和數乘成爲一個線性空間，然後我們定義內積如下：<f，g>= ∫|f*g|dx，範數‖f‖=根號<f，f>=根號∫（f）^2dx。容易驗證它們滿足內積和範數的幾個公理（有興趣的同學可以隨便翻翻任何一本泛函書）。這樣把（平方可積）函數看作一個個的點，由函數線性運算和以上定義的內積就構成一個函數空間，叫做L^2（大L2空間）。
經過一些推理以後，可以證明（約化後的）L^2空間等價於小l^2空間（這個等價是指一種完全保留線性運算和內積的一一映射，我在這裏就不具體講了）。
由於這個性質證起來簡單，所以一般的泛函教科書都沒有怎麼重點提這個定理。可是對我而言，它卻是最有啓發性的定理之一。這個定理我認爲是繼笛卡爾發明了座標系把幾何和代數聯繫起來以後這方面最偉大的成就，因爲有了這個定理，我們就可以真正把一個函數也看作是某個空間裏的一個點，而且在這個空間裏也有距離：ρ（f，g）=‖f-g‖，有內積用來定出基，也就是座標系（L^2的座標系有很多種，最出名和常用的是三角函數系），換一句話說，我們可以用幾何的工具來研究一族函數的性質了。
說了這麼半天，恐怕很多人還不知道爲什麼這們學科叫做*泛函*分析。
什麼是函數? 最狹義的函數恐怕就是從實數（R^1）到實數的映射了。現在我們把定義域擴展爲所有Hilbert space上的點（經常本身就是一個函數了，象L^2），值域不變仍然爲實數，這樣的映射就是所謂的泛函數簡稱泛函了。就像函數在實數理論裏面佔的地位一樣，泛函在整個泛函分析裏面也起到舉足輕重的作用。
最簡單而又不太trivial的實函數大概就是線性函數了，同樣的，泛函分析也從線性泛函講起.（球星是個例外，我當時被迫從非線性泛函課開始，那個飛機坐的...） 實數上有多少線性函數呢? 無窮多? 當然是:-），那麼有多麼無窮多? 我們知道所有線性實函數都具有這種形式：f（x）=kx，k是一個實數。而且反過來說，不同的k都對應着一個不同的線性實函數。這樣我們就有了一個從R^1上所有線性實函數到R^1自身的一一對應。也就是說，這個函數空間和R^1自身等價。
對於Hilbert space也有類似的結論：一個Hilbert space的對偶空間（就是所有它的線性連續泛函組成的空間）等價於它自身，進一步，所有的線性連續泛函I（f）: H---> R 可以表示成爲內積的形式: I（f）=<f，g*> for some g* in H。（對了在這裏再重新提一下，常用的平方可積函數空間L^2的內積是積分的形式: ∫f*g，f，g∈L^2，所以所有的線性連續泛函就都是帶一個因子g的積分了.） 這個Hilbert space上最根本的定理幾乎把Hilbert space和Euclidean space（歐幾里得空間）等同起來了，在那時大家都很高興，畢竟Euclidean space的性質我們瞭解的最多，也最“好”。
狄立克萊（Dirichlet）原理就是在這個背景下提出的：任何連續泛函在有界閉集上達到其極值。這個結論在Euclidean space上是以公理的形式規定下來的（參見數學分析的實數基本定理部分），具體說來就叫做有界閉集上的連續函數必有極值，而且存在點使得這個函數達到它。
在拓撲學上等價於局部緊性的這個東東，很可惜在一般的Hilbert space上卻是不成立的：閉區間[0，1]上的L^2空間有一個很自然的連續泛函：I（f）=∫|f（x）|dx。容易證明，它的範數‖I‖=sup|I（f）|/‖f‖=1.在這個L^2的單位閉球面（所有範數等於1 的f）上存在這麼一個子序列：f_n（x）=n，當x∈[0，1/n^2]; f_n（x）=0，當x>1/n^2。按照L^2上範數的定義，‖f_n‖=∫f^2（x）dx =1，for all n。0≤I（f）==>I在這個有界閉集上的最小值≤0，而且I（f_n）=1/n→0。但是我們看到，當f_n弱收斂到常函數零時，它已經不在單位閉球面上了（嚴格的證明可以在一些課本上找到）。
一、定義
線性完備內積空間稱爲Hilbert space。
線性（linearity）：對任意f，g∈H，a，b∈R，a*f+b*g仍然∈H。
完備（completeness）：對H上的任意柯西序列必收斂於H上的某一點。——相當於閉集的定義。
內積（inner product）：一個從H×H-->R 的雙線性映射，記爲<f，g>。它滿足：
i）<f，f>≥0，<f，f>=0 <==> f=0；
ii）<a*f，g>=a*<f，g>=<f，a*g> for any a in R；
iii）<f+g，h>=<f，h>+<g，h>；
iv）<f，g>=<g，f> ——在復內積裏是複數共軛關係
內積誘導的範數（norm）：‖f‖=√<f，f>，它滿足範數公理：
i）‖f‖≥0，‖f‖=0<==> f=0；
ii）‖a*f‖=a*‖f‖，for any a in R；
iii）‖f+g‖≥‖f‖+‖g‖——三角不等式。
範數誘導的距離（distance）：ρ（f，g）=‖f-g‖，它滿足距離公理：
i）ρ（f，g）≥0，ρ（f，g）=0 <==> f=0;
ii）ρ（f，g）=ρ（g，f）
iii）ρ（f，g）+ρ（g，h）≥ρ（f，h）。
一個距離空間稱爲是緊的，如果每一個有界序列必有收斂子列。
Hilbert space上的序列f_n強收斂於g，如果‖f_n-g‖收斂於零；
Hilbert space上的序列f_n稱爲是一個柯西序列，如果‖f_n-f_m‖收斂於零當m，n--->∞；
Hilbert space上的序列f_n弱收斂於g，如果對於任何一個線性連續泛函I，|I（f_n）-I（g）|收斂於零。
Hilbert space上的泛函I（f）稱爲線性，如果它滿足：對任意f，g∈H，a，b∈R，I（a*f+b*g）=a*I（f）+b*I（g）；
Hilbert space上的泛函I（f）稱爲有界，如果‖I‖有界；
Hilbert space上的泛函I（f）稱爲連續，如果對於任意柯西序列f_n，I（f_n）是R 上的柯西序列。
泛函I（f）的範數定義爲 sup|I（f）|/‖f‖，for all f∈H。它的一個等價定義是sup|I（f）|，for all f∈H such that ‖f‖=1，也就是單位球面上的極大值。
從定義立刻可以看到，|I（f）|≤‖I（f）‖*‖f‖。
二、定理
1、完備的線性賦範空間上線性泛函的有界性與連續性等價。——可以推廣到算子，並且Hilbert space是完備的線性賦範空間（Banach space）的一個特例。
2、Hilbert space上線性連續泛函可以完全由內積表示，並且這種表示是一一對應的。
3、Hilbert space上存在一組正交標準基（f_1，f_2，....），使得所有g∈H均有一個表示：g=∑a_n*f_n，其中的a_n 叫做第n個投影或者座標值，a_n=<g，f_n>。
4、自反空間（Hilbert space是其中一種）的有界序列必有弱收斂子序列，這個性質叫做弱緊性。
5、任何H上的閉線性子空間M均滿足射影性質：對任意點 f∈H，存在 g∈M，h∈M的線性補空間，使得 f=g+h。