[Luogu P3214] [BZOJ 4339] [HNOI2011]卡農

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題目描述

衆所周知卡農是一種復調音樂的寫作技法，小余在聽卡農音樂時靈感大發，發明了一種新的音樂譜寫規則。他將聲音分成 $n$ 個音階，並將音樂分成若干個片段。音樂的每個片段都是由 $1$ 到 $n$ 個音階構成的和聲，即從 $n$ 個音階中挑選若干個音階同時演奏出來。爲了強調與卡農的不同，他規定任意兩個片段所包含的音階集合都不同。同時爲了保持音樂的規律性，他還規定在一段音樂中每個音階被奏響的次數爲偶數。現在的問題是：小余想知道包含 $m$ 個片段的音樂一共有多少種。兩段音樂 $a$ 和 $b$ 同種當且僅當將 $a$ 的片段重新排列後可以得到 $b$。例如：假設 $a$

爲$\{\{1,2\},\{2,3\}\}$，$b$ 爲$\{\{3,2\},\{2,1\}\}$，那麼 $a$ 與 $b$ 就是同種音樂。由於種數很多，你只需要

輸出答案模 $100000007$（質數）的結果。

輸入輸出格式

輸入格式：

從文件input.txt中讀入數據，輸入文件僅一行，具體是用空格隔開的兩個正整數$n$和$m$，分別表示音階的數量和音樂中的片段數。$20\%$的數據滿足$n,m≤5$，$50\%$的數據滿足$n,m≤3000$，$100\%$

的數據滿足$n,m≤1000000$。

輸出格式：

輸出文件 output.txt 僅包含一個非負整數，表示音樂的種數模 $100000007$ 的結果。【輸入輸出樣例】

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

2 3

輸出樣例#1：

1

解題分析

題目無非是讓我們在選子集的時候滿足三個條件：

1. 選的每個元素都出現偶數次
2. 選的子集不爲空
3. 不能選重複的子集

假設我們正在考慮計算$dp[i]$。如果只要求滿足第一個要求， 直接確定$i-1$個之前選的子集， 第$i$個子集就唯一確定了， 所以這裏算出來的方案數是$\binom{2^n-1}{i-1}\times (i-1)$。

然後考慮爲空的限制， 發現當且僅當前$i-1$個本身就滿足條件纔會導致第$i$個爲空， 所以減去$dp[i-1]$即可。

最後一個限制， 發現只可能是第$i$個和前$i-1$箇中的一個重複了， 那麼剩下的$i-2$個就是合法的了， 也就是$dp[i-2]$。 重複的一個的選法有$(2^n-1)-(i-2)$， 然後重複的那個子集在$i-1$個子集中有$i-1$個不同的位置， 因此這一部分減去的貢獻是$dp[i-2]\times (i-1)\times (2^n-1-(i-2))$。

代碼如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define ll long long
#define MX 1005000
#define MOD 100000007
int A[MX], dp[MX];
int pw, n, m, fac = 1;
IN int fpow(R int base, R int tim)
{
	int ret = 1;
	W (tim)
	{
		if (tim & 1) ret = 1ll * ret * base % MOD;
		base = 1ll * base * base % MOD, tim >>= 1;
	}
	return ret;
}
int main(void)
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	pw = (fpow(2, n) - 1 + MOD) % MOD;
	A[0] = 1;
	for (R int i = 1; i <= m; ++i) A[i] = 1ll * (pw - i + 1 + MOD) % MOD * A[i - 1] % MOD, fac = 1ll * fac * i % MOD;
	dp[0] = 1, dp[1] = 0;
	for (R int i = 2; i <= m; ++i) dp[i] = ((A[i - 1] - dp[i - 1] - 1ll * dp[i - 2] * (i - 1) % MOD * (pw - (i - 2)) % MOD) % MOD + MOD) % MOD;
	printf("%lld\n", 1ll * dp[m] * fpow(fac, MOD - 2) % MOD);
}