魔術球問題
題目描述
«問題描述：
假設有\(n\)\((4\leq n \leq 55)\)根柱子，現要按下述規則在這\(n\)根柱子中依次放入編號爲\(1，2，3，...\)的球。
\(（1）\)每次只能在某根柱子的最上面放球。
\(（2）\)在同一根柱子中，任何\(2\)個相鄰球的編號之和爲完全平方數。
試設計一個算法，計算出在\(n\)根柱子上最多能放多少個球。例如，在\(4\)根柱子上最多可放\(11\)個球。
«編程任務：
對於給定的\(n\)，計算在\(n\)根柱子上最多能放多少個球。
輸入輸出格式
輸入格式：
第\(1\)行有\(1\)個正整數\(n\)，表示柱子數。
輸出格式：
程序運行結束時，將\(n\)根柱子上最多能放的球數以及相應的放置方案輸出。文件的第一行是球數。接下來的\(n\)行，每行是一根柱子上的球的編號。
輸入輸出樣例
輸入樣例
4輸出樣例
11
1 8
2 7 9
3 6 10
4 5 11\(Solution\)
第一眼沒思路，第二眼還是沒有。
沒思路想耍流氓二分。似乎可以，顯然柱子越多，放的球越多（至少不會更少），滿足單調性。那就二分答案判斷唄。
怎麼判斷呢？
鑑於這是一道網絡流的題。。。
圖怎麼建？什麼情況下，兩個點之間能有連邊？滿足兩點標號之和爲完全平方數。數範圍不大，可以\(n^2\)枚舉。但僅僅這樣似乎不行。因爲操作對象是點，不是邊，因此要將點拆開。拆開之後，一邊鏈接起點，拆出來的點鏈接終點。至於點與點之間，則是小的鏈接大的。邊權都是\(1\)。
然後就是最大流板子。找到答案之後，再處理每條邊上的點就好了。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#define INF 10000000
using namespace std;
long long read(){
long long x = 0; int f = 0; char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9') f |= c == '-', c = getchar();
while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48), c = getchar();
return f? -x:x;
}
int n, s, t;
struct szh{
int to, next, w;
inline void clear(){to = next = w = 0;}
//因爲要建很多遍圖，所以要清空
}a[400000];
int cnt = 1, hd[10000];
inline void add(int u, int v, int w){//連邊
a[++cnt].to = v, a[cnt].w = w, a[cnt].next = hd[u], hd[u] = cnt;
a[++cnt].to = u, a[cnt].w = 0, a[cnt].next = hd[v], hd[v] = cnt;
}
int Q[10000], dis[10000];
queue<int> q;
bool bfs(){//求增廣路
memset(dis, 0, sizeof dis);
dis[s] = 1, q.push(s);
while(!q.empty()){
int u = q.front(); q.pop();
for(int i = hd[u], v; v = a[i].to, i; i = a[i].next)
if(a[i].w > 0 && !dis[v]) dis[v] = dis[u] + 1, q.push(v);
}
return dis[t];
}
int dfs(int u, int f){//增廣
if(u == t || !f) return f;
int ans = 0;
for(int i = hd[u], v;v = a[i].to, i; i = a[i].next)
if(a[i].w > 0 && dis[v] == dis[u] + 1){
int x = dfs(v, min(f, a[i].w));
a[i].w -= x; a[i ^ 1].w += x, ans += x;
if(!(f -= x)) break;
}
return ans;
}
int mf;
void dinic(){//板子
mf = 0;
while(bfs()) mf += dfs(s, INF);
}
bool check(int x){
for(int i = 0; i < 100000; ++i) a[i].clear();//初始化
memset(hd, 0, sizeof hd);
cnt = 0, s = 0, t = 2 * x + 1;
for(int i = 1; i <= x; ++i){//建圖
add(s, i, 1); add(i + x, t, 1);
for(int j = i + 1; j <= x; ++j)//連邊
if(i + j == (int) sqrt(i + j) * sqrt(i + j)) add(i, j + x, 1);
}
dinic();
return x - mf <= n;
}
int nxt[10000];
bool use[10000];
int main(){
n = read();
int l = 1, r = 2000, mid, ans = 0;
while(l <= r){//二分
mid = (l + r) >> 1;
if(check(mid)) ans = mid, l = mid + 1;
else r = mid - 1;
}
printf("%d\n", ans);
check(ans);
for(int i = 1; i <= ans; ++i){
for(int j = hd[i], v; v = a[j].to, j; j = a[j].next){
if(v == s) continue;
if(!a[j].w) nxt[i] = v - ans;//記錄路徑
}
for(int j = hd[i + ans], v; v = a[j].to, j; j = a[j].next){
if(v != t) continue;
if(!a[j].w) use[i] = 1;//排除非起點
}
}
for(int i = 1; i <= ans; ++i){
if(use[i]) continue;
int u = i;
while(u){//從編號最小的點開始輸出
printf("%d ", u); u = nxt[u];
}
printf("\n");
}
return 0;
}