關係數據庫理論之最小函數依賴集

前言

在本文中，會介紹爲什麼要引入最小函數依賴集，最小函數依賴集是什麼，以及如何求最小函數依賴集。

爲什麼需要最小函數依賴集

在關係數據模型中，一個關係通常由R(U,F)構成，U爲屬性的全集，F爲函數依賴集。在實際生活中，我們可以根據語義來定義關係中屬性的依賴關係，例如學號可以唯一確定一位學生的姓名、性別等等。但是，有時候給出的函數依賴集並不是最簡的，這有時會拖累我們對關係的後續處理，例如關係的分解、判斷是否爲無損分解等。所以，我們在必要時，需要對函數依賴集進行化簡，這就是需要最小函數依賴集的原因。
在正式介紹最小函數依賴集之前，還需要了解一個概念，那就是閉包。準確的說是屬性集X關於函數依賴集F的閉包。

閉包

閉包分爲兩種，一種是函數依賴集F的閉包，另外一種是屬性集X關於函數依賴集F的閉包。前者不做討論，重點說說後者。先來看定義

設F爲屬性集U上的一組函數依賴集，X、Y $\in$U，$X_F^+$= {A|X$\rightarrow$A能由F根據Armstrong公理導出}，$X_F^+$稱爲**屬性集X關於函數依賴集F的閉包。

說白了，就是給定屬性集X，根據現有的函數依賴集，看其能推出什麼屬性。
這裏的Armstrong公理系統不用深究，想具體瞭解的可以點擊查看百度百科。
舉例：

已知關係模式R<U,F>，其中：
U = {A，B，C，D，E}，
F = {AB $\rightarrow$ C，B$\rightarrow$D，C$\rightarrow$E，EC$\rightarrow$B，AC$\rightarrow$B}
求$(AB)_F^+$。

解：

從AB出發，此時我們的集合裏已經包含了{A，B}。
我們從現有的函數依賴集中可知，
AB可以推出C，於是C加入集合，
B可以推出D，於是D加入集合，
C可以推出E，於是E加入集合，
EC可以推出B，因爲C、E、B都在集合中，於是不加入，
AC可以推出B，因爲A、B、C都在集合中，於是不加入
至此，可求得$(AB)_F^+$ ={A、B、C、D、E}。

最小函數依賴集

定義

如果函數依賴集F滿足下列條件，則稱F爲一個極小函數依賴集，亦稱爲最小依賴集或最小覆蓋。
(1)、F中任一函數依賴右部僅含有一個屬性。
(2)、F中不存在這樣的函數依賴 X$\rightarrow$A，使得F與F-{X$\rightarrow$A} 等價。
(3)、F中不存在這樣的函數依賴X$\rightarrow$A，X有真子集Z使得F-{X$\rightarrow$A}$\bigcup${Z$\rightarrow$A} 與F等價。

解釋

以上定義翻譯成大白話就是，一個函數依賴集F要想稱爲最小函數依賴集，要滿足以下三點：
1、F中任一函數依賴的右邊只有一個屬性。
2、F中不存在這樣的函數依賴：從現有的函數依賴集中刪除一個函數依賴X$\rightarrow$A，刪除後所得的函數依賴集與原來的函數依賴集等價，這樣的函數依賴是不允許存在的。
3、F中不存在這樣的函數依賴：假設函數依賴集中存在AB$\rightarrow$Y，現對該依賴的左部進行化簡，即刪除A，得B$\rightarrow$Y；或刪除B，得A$\rightarrow$Y，若經過化簡後的函數依賴集與沒有化簡前的函數依賴集等價，那麼這樣的函數依賴是不允許存在的。

算法

1、首先，先利用函數依賴的分解性，將函數依賴集中右部不爲單個屬性的分解爲單屬性。

2、對於經過第1步篩選後的函數依賴集F中的每一個函數依賴X$\rightarrow$A，進行以下操作：

• 2.1、將X$\rightarrow$A從函數依賴中剔除
• 2.2、基於剔除後的函數依賴，計算屬性X的閉包，看其是否包含了A，若是，則該函數依賴是多餘的(這裏體現出前面說的等價，因爲如果基於化簡後的函數依賴依賴，計算X的閉包依然包含A，則說明A可以由其他依賴推出，X$\rightarrow$A不是必須的)，可以刪除，否則不能刪除

3、對於經過第2步篩選後的函數依賴集F中每個左部不爲單個屬性的函數依賴AB$\rightarrow$Y，進行以下操作：
我們約定，經過第二步篩選後的函數依賴集記爲F1，經過第三步處理後的函數依賴集爲F2。

• 3.1、去除A，得B$\rightarrow$Y，得F2，基於F1和F2計算屬性B的閉包，如果二者相等，則說明它們是等價的，A可以去除；如果不相等，則A不能去除。
• 3.2、去除B，得A$\rightarrow$Y，得F2，基於F1和F2計算屬性A的閉包，如果二者相等則說明它們是等價的，B可以去除；如果不相等，則B不能去除。

知識鏈接：函數依賴的分解性
若X$\rightarrow$YZ，則X$\rightarrow$Y 且 X$\rightarrow$Z。

舉例

關係模式R(U，F)中，U={A，B，C，D，E，G}，F={B$\rightarrow$D，DG$\rightarrow$C,BD$\rightarrow$E,AG$\rightarrow$B,ADG$\rightarrow$BC}；求F的最小函數依賴集。

解：
1、首先根據函數依賴的分解性，對F進行第一次篩選，需要變動的有：
ADG$\rightarrow$BC拆解成ADG$\rightarrow$B、ADG$\rightarrow$C
得新函數依賴集：
F = {B$\rightarrow$D,DG$\rightarrow$C,BD$\rightarrow$E,AG$\rightarrow$B,ADG$\rightarrow$B,ADG$\rightarrow$C}

2、篩選多餘的函數依賴

• 2.1：去除B$\rightarrow$D，得F = {DG$\rightarrow$C,BD$\rightarrow$E,AG$\rightarrow$B,ADG$\rightarrow$B,ADG$\rightarrow$C}，$B_F^+$ = {B}，不包含D，故B$\rightarrow$D不刪除。
• 2.2：去除DG$\rightarrow$C，得F = {B$\rightarrow$D、BD$\rightarrow$E,AG$\rightarrow$B,ADG$\rightarrow$B,ADG$\rightarrow$C}，$(DG)_F^+$={D,G}，不包含C，故DG$\rightarrow$C不刪除。
• 2.3：去除BD$\rightarrow$E，得F = {B$\rightarrow$D,DG$\rightarrow$C,AG$\rightarrow$B,ADG$\rightarrow$B,ADG$\rightarrow$C}，$(BD)_F^+$ = {B,D}，不包含E，故BD$\rightarrow$E不刪除。
• 2.4：去除AG$\rightarrow$B，得F = {B$\rightarrow$D,DG$\rightarrow$C,BD$\rightarrow$E,ADG$\rightarrow$B,ADG$\rightarrow$C}，$(AG)_F^+$ = {A,G}，不包含B，故AG$\rightarrow$B不刪除。
• 2.5：去除ADG$\rightarrow$B，得F = {B$\rightarrow$D,DG$\rightarrow$C,BD$\rightarrow$E,AG$\rightarrow$B,ADG$\rightarrow$C}，$(ADG)_F^+$ = {A,D,G,C,B,D}，包含B，故ADG$\rightarrow$B去除。
• 2.6：去除ADG$\rightarrow$C，得F = {B$\rightarrow$D,DG$\rightarrow$C,BD$\rightarrow$E,AG$\rightarrow$B,ADG$\rightarrow$B}，$(ADG)_F^+$ = {A,D,G,C,B,D}，包含C，故ADG$\rightarrow$C去除。
  經過第二部篩選後，函數依賴集F變爲{B$\rightarrow$D,DG$\rightarrow$C,BD$\rightarrow$E,AG$\rightarrow$B}。

3、化簡函數依賴左側不爲單個屬性的函數依賴

• 3.1：先看DG$\rightarrow$C
  • 3.1.1：去除D，得G$\rightarrow$C，得函數依賴集F1 = {B$\rightarrow$D,G$\rightarrow$C,BD$\rightarrow$E,AG$\rightarrow$B}。
    基於F1，可求得$G_F^+$ = {G,C}。
    基於F(第二步求出的，下同)，可求得$G_F^+$ = {G}
    可見二者並不相同，所以D不去除。
  • 3.1.2：去除G，得D$\rightarrow$C，得函數依賴集F1 = {B$\rightarrow$D,D$\rightarrow$C,BD$\rightarrow$E,AG$\rightarrow$B}
    基於F1，可求得$D_F^+$ = {D,C}
    基於F，可求得$D_F^+$ ={D}
    可見二者並不相同，所以G不去除。

綜上，DG$\rightarrow$C，已是最簡。

• 3.2：再看BD$\rightarrow$E
  • 3.2.1：去除B，得D$\rightarrow$E，得函數依賴集F1 = {B$\rightarrow$D,DG$\rightarrow$C,D$\rightarrow$E,AG$\rightarrow$B}
    基於F1，可求得$D_F^+$ = {D,E}
    基於F，可求得$D_F^+$ = {D}
    可見二者並不相同，所以B不去除。
  • 3.2.2：去除D，得B$\rightarrow$E，得函數依賴集F1 = {B$\rightarrow$D,DG$\rightarrow$C,B$\rightarrow$E,AG$\rightarrow$B}
    基於F1，可求得$B_F^+$ = {B,E,D}
    基於F，可求得$B_F^+$ = {B,D,E}
    可見二者相同，所以D可以去除。

綜上，BD$\rightarrow$E，可化簡爲B$\rightarrow$E。

• 3.3：最後看AG$\rightarrow$B
  • 3.3.1：去除A，得G$\rightarrow$B，得函數依賴集F1 = {B$\rightarrow$D,DG$\rightarrow$C,B$\rightarrow$E,G$\rightarrow$B}
    基於F1，可求得$G_F^+$ = {G,B}
    基於F，可求得 $G_F^+$ = {G}
    可見二者並不相同，所以A不可去除。
  • 3.3.2：去除G，得A$\rightarrow$B，得函數依賴F1 = {B$\rightarrow$D,DG$\rightarrow$C,B$\rightarrow$E,A$\rightarrow$B}
    基於F1，可求得$A_F^+$ = {A,B}
    基於F，可求得$A_F^+$ = {A}
    可見二者並不相同，所以G不可去除。

綜上，AG$\rightarrow$B，已是最簡。
綜上，R的最小函數依賴集爲F = {B$\rightarrow$D,DG$\rightarrow$C,B$\rightarrow$E,AG$\rightarrow$B}

寫在最後

這個問題是我在考研複試的時候複習過程中遇到的，主要的糾結點在於第三步的判斷上，查資料的時候發現網上很多都沒有寫清，最後還是在度孃的文庫裏找到了比較清楚的解釋，在此做一下思路的整理。
本文定義以及例子參考自：

• 《數據庫系統概論（第五版）》 王珊 薩師煊 編著 清華大學出版社
• CSDN 博文 數據庫建模和設計（2）：函數依賴、閉包、最小函數依賴集、範式、模式分解