從無到有
數的概念
出生不久的孩子你覺的他認識1、2、3類似的數字嗎？應該都不知道，可見數字的概念也是隨着我們人類成長逐漸認識到的，英國經濟學創立者亞當斯密說“數是人類在精神上製造出來的最抽象的概念”，屬於邏輯思維裏面的認識，古代的遊牧名族考打獵爲生，當獵物多了就需要記住有多少食物還能吃多久，如一個羊、一個雞等則抽象出來了1，兩個羊、兩個雞則抽象出來了2等等，這樣自然數字即出現了這個時候人可能達到的大數範圍還很小，有的是拿身體各個部分來計數，有的部落可能只能達到10即用10個手指來計數，他們打的獵物還很少，能量少也同樣限制了每個部落人口的發展，人口少了同樣文明進步也就慢。
有人和你說一個數字1，你能想到什麼？一個雞蛋、一個蘋果電腦、一個手機等，像這樣把一個一個電腦蘋果和一顆一顆樹聯繫起來就叫做一一對應，另一個本質性質是分割不變 如一堆雞蛋無論你分爲多少份，其總數仍然不變，這也是我們接觸的集合的性質。
數詞的發展
數詞在有了表示1、2、3類似這樣的數字之後，人們並沒有滿足於當下，當時並不是1、2、3這樣叫，而是以身體各個部分來代表不同的數字，比如頭可能是1的意思，在打的獵物逐漸多了之後，10以下的數字就不能滿足於那時的實際需求，聰明的祖先想到了把數字橫着排起，如1 1 有時數字多了看着很不方便，人們又把它進一步縮減，採用二進制來計數，節約是數學的重要想法之一
二進制在中國古代的《易經》基於陰陽兩種對立事物，自然也與二進制有關，國外熱心主張二進制的人，是偉大的哲學家數學家萊布尼茲，他認爲1象徵神，0象徵虛無，是神和虛無創造了整個宇宙。
在漫長的文明發展過程中，人們也曾用過手指計算器，這是在二進制之後，還出現過三進制、五進制、十進制、二十進制、十二進制、六十進制等，其中二進制、十進制、十六進制、六十進制使用最爲廣泛，
巴比倫王國據說是六十進制最早發明的國家，現在在時間和角度測量上仍然保留着，如60秒是1分、60分是1小時，上次看了看《自然哲學中的數學》靜止和運動一節描述說靜止和運動都是相對的，即使一年365天、12個月這些只是拿一個衡量標準來計算運動的物體
定位與0的祖先
巴比倫王國和埃及是歷史上最早的城市國家，埃及在實現十進制方便是先進的，巴比倫過創建了六十進制，重要的思想就是把儘量少的數字組合在一起表示儘可能大的數字，節約數字的想法逐漸發展，發明了0，誕生出來了用於計算的數字，成了今天人類共同的財富
二進制相比十進制有它自己的優勢，比如形式簡單無論再大的整數都可以用01組合來表示，下面我們穿插一個小題：
有1000個瓶子，其中只有一個瓶子裏有毒藥。喝下毒藥的老鼠會在24小時內死亡。問在24小時時間內，最少需要幾隻小白鼠，才能檢驗出哪個瓶子裏的有毒藥？(注:一隻小白鼠可以嘗試一瓶或者多瓶)？
離散量、連續量
俄國有一個故事說
有位老奶奶要給三個孫子分吃兩個土豆，因爲不好分割，就把土豆做成了湯，分給三個孫子喝，老奶奶把離散的土豆變爲了連續的土豆湯，從而解決了難題
在人類靠摘取果實和獵取野獸來維持生活的時候，果實和狩獵物品有限每天食不果腹，只數離散量就足夠了，不會產生什麼差錯，後來隨着農業和訊牧業發展，個人捕獲了7只鹿，當需要把肉分成10等份的時候，就考慮到了分割連續量的時候，另外古物的量、田地面積等也需要連續量，可以說連續量也是人們生活中需要然後被創造出來的，每個小的文明進步都需要漫長的過程，
開始人們並沒有一下就創造出來像現在這樣非常標準的刻度、尺子、量器等，人們只是用小木棍來不斷衡量一個物體的長度，此木棍長度就成了單位長度，兩個東南海北的物體想要比較大小、多少如何比較，直接比較不了的地方， 就產生了間接比較的需要，而產生了單位，單位的理解即一個固定長度或重量的大小，大家都知道心知肚明的，古代作爲單位的物品還不少，例如典型的錢 、貝殼 、 金屬等，它們需要具有耐保存、易攜帶等特性，一開始用一個單位小木棍來測量大多數情況不會正好測量完等於自然數個單位小棍，這樣就遇到了把長棍這樣連續量分割成離散量時產生了困難，就是零頭的存在，於是乎有人想到了製作比單位小棍更小的單位，用此單位量剩下的零頭，如果長了正相反，擴展變大單位長度，如米下面有分米、釐米。。上面有千米等，至於有多少單位受限於當時科學水平。
連續量的表示方法
在表示連續量的各種方法中，笛卡兒他想出來了用直線的長度來表示所有的連續量，連續量除了長度外，還有重量、面積、體積、時間、密度、溫度等可以說種類很多，這些全部用長度來表示，不能不說笛卡爾的想法非常優秀，如果我們一直在用的座標系即笛卡爾座標系的由來
量器多半都是把連續量表示成長度的工具，如桿秤、鐘錶、溫度計、速度計等，數學家把各式各樣的連續量轉換爲長度，就是爲了座標圖的出現做好了準備，速度圖，想想是不是這麼回事，就連時間我們人類都將它表示成了鐘錶走一圈一圈的長度，時間本是看不見摸不着虛無的東西，但可以拿鐘錶的一圈來衡量，問題簡化、清晰、明瞭，任何科學的道理都是簡單明瞭通俗易懂的。
可以說笛卡爾座標系的創造給人類解決問題帶來了巨大的變化，我們中學時接觸最多的我想也是笛卡爾座標系
分數與小數
分數和小數是從連續量抽象出來的，它是連續量
小數和分數的意義？
小數和分數是出現了離散量開始出現的，它是爲了滿足於各個方面的測量、計數，因爲連續量也充滿了我們的生活，如水、土地等，可以說分數和小數讓我們活的更精細，科學生產也更有計劃，科學是第一生產力，從這個角度出發那麼從離散數發展小數理論的不是貴族而是工匠和商人
在只有離散變量的時候，測量或計數沒有剩餘，都是自然數而增加了連續量之後呢，在比較大小測量等方便常常會有剩餘，如果剩餘了一小點，但又不知道剩餘了多少，可以用它除以單位長度正好爲其中以個10小份，那麼爲單位長度的1/10，也可以寫成0.1倍，從這個地方你會想到什麼？人類的智慧是在不斷擴展、不斷完善的，如果文明僅僅發展到這個程度，那麼沒有後來的負數概念，2-7這種運算也是沒有結果的，就好像我們不太好理解虛數一樣縹緲，不過文化的進步也不是直線前進的，而是走了很多彎路，不僅如此，有時走進衚衕長時間出不來也有
分數的比較、加法、減法、乘法
每一種規則的計算都是智慧的結晶，在分數出來後它的計算是否與以前自然數計算一致呢？這也許正困擾着當時的人們，現在如果問你分數如何運算你覺得非常簡單，這麼簡單的的東西上小學的時候我記得也是做了無數個題之後在大腦裏面打下了深深的烙印，刻上了應這樣算、應該那樣算，至於爲什麼一想即時說上這麼說得，但沒有想過這書是誰寫的、誰第一個想象到的，在以前我還記得爲什麼乘可以減小、除爲什麼可以增大，當時也是不理解爲什麼，看見的多了就理所應該那樣了
想一想是不是乘分數、除分數都可以拆分成整數的兩次甚至多次乘法或處罰運算，因爲人們知道整數加減乘法，可以說是在已有的認知基礎上擴展了分數的運算法則，數學也就以此爲基礎向前邁進了一步，這種例子還有很多再比如負數爲什麼是在正數的前面加了一個 ‘-’ 符號就表示負數了，也是利用了已有的整數規則，僅僅增加一個符號而已，人們不需要創造新的規則，這是繼承也是創新。
整數除以整數即分數，分數進行計算即化爲小數，而化小數時可能沒有餘數的整除或有限個位數是有限小數，還有另一些除不盡的就是無限小數，無限小數裏面繼續分解爲無限循環和無限非循環小數（無理數），可見這些數的概念都是在出現了分數後出現的，後來統稱爲正實數
有了這些數就能把全部的長度、全部的重量、全部的時間這些連續量，無遺漏的表現出來
爲什麼先乘除後加減？
爲什麼先做乘除後做加減，因爲先做乘除比作加減的場合要多，當然也有先加減的場合，後來使用了括號 有往一起堆的意思，
分數和小數都是連續量，即分數乘以分數、小數乘以小數是連續量乘以連續量，所以必須從其意義來考慮，連續量彼此想乘除就會產生全新的量，基本的量時長度、時間、質量這種，由這三種量可推出來全部的量，像是色彩中的三種原色一樣，由三種顏色可以產生各種各樣的顏色，同樣把這三種量用乘和除組合起來，就可以導出來全部的量，他們構成了數學、物理的基石。
數學與現實
數學這門學問就像高性能的噴氣飛機那樣，一邊在世界上飛行，一邊又瞭望着世界，但這種飛行並不是無休止的，它必須經常地回地面上來補給燃料，否則是不能繼續飛行的
數和語言之間有明顯的相似性，利用正和負來說明正數和負數的差異就利用了語言的相似性這一點，
在數的世界中當然也需要反義詞，正數和負數即正和負就是這樣誕生的，可以說就是數的反義詞
《紅與黑》的作者司湯達在中學時代語文學的好，所有寫出來了一本書，據說他數學也不錯，當時的小數學家人物，可見厲害的人從來都是不僅僅侷限於一個領域，個人感覺還是愛好廣泛，愛好是最好的老師，有興趣自己會主動去研究和學習，
負數的由來以及正負數的運算規則不是邏輯推理從其他規則推導出來的，它像分數乘法運算規則一樣，是從無數實例中總結出來的，例如兩個電荷，正和負可以相互吸引、
古人從1根木棒、1個橘子等抽象出來1,2，等自然數的數列，在文學中類似玫瑰、荷花燈統稱爲花，像這樣名詞的誕生標誌着語言前進了一大步，人類的抽象能力並沒有停止，各種具體事務又可以抽象爲那個、這個等代詞，同理在學的語言裏，也存在將1、2、3等數字以文字代表，如a
研究文字的算數或代名詞的算數的學問，叫做代數學，牛頓把代數叫做普遍算數，當時他在書中描述 算術是一定的和特殊的，代數則是不定的和普遍的，代數學即代入特殊的數、特殊化的東西
代數“語言”
代數與代名詞的算數
由具有加、減的算法改寫成清一色的加法式子叫做代數和
既然我們已經向語文等語言一樣有了代數自己的語言表示方式，通常爲a b c … 或 A B C …類似，這也只是相當於發明了漢字花呀、草呀的，至於如何取斷句、如何取組合還需要文法規則，這裏的文法即交換律、結合律、分配律等，它們是指導字詞句各種變換各種表達方式的原則，就像主謂賓一樣，我可不可以用雙重否定來表示肯定呢也是可以的，如同我們的交換等變換。
雞兔同籠
你是否還記得這個題目，經常被拿出來作爲一題多解的案例，我們也拿過來說一說，這個題也正好代表了時代的發展和方法的升級，開始的時候人們都是利用算數來心算、口算，給雞補腿或讓兔子擡起兩隻腳等，等到後來埃及文明大大發展，有人用梅花作爲未知數經過幾代更替，現在普遍使用笛卡爾兒發明的x作爲未知數代表，據說是因爲在羅馬字母表中的x，在法語中也多用，因此印刷廠中x的活字也很多的原因，有了未知變量表示人們覺得就相當於量都已知了，於是根據數據列出來了等式即我們說得方程。
在算數中是按由給定量求待求量的步驟去解算數問題，而代數則相反，即好像是已經知道了待求量似的，從待求量出發推求其與已知量的關係，按這種步驟來解決問題，列出方程，代數的好處是簡單可以口算心算但是隨着題難度的增大、未知數的數目變多心算有些吃力有時相當困難，如果一個、二個、三個未知量還好說，超過5個就難了，而方程處理這些問題似乎很簡單，有多少未知數就設多少個變量來求解，數學沒走一步都是曲折的，當時的方程停留在有限個未知數，因爲人們表示未知數的文法也就是26個字母，個數畢竟有限，後來聰明的數學家經過苦思冥想提出了用字母下面加角標的方式代替未知數這樣未知數的表示就從有限擴展到了無限，方程的作用就更大了，那麼問題來了未知數太多的方程如何解呢？後面就是各種牛逼的人開始了探究。
矩陣加減
由於在數學上這種長方形的表到處可見，因此就產生了矩陣這個名稱，矩陣在英語中叫matrix
無論矩陣還是向量都要使用很多數字，若用文字來代表的話，也要受限制，如拉丁字母表就只有26個字母表、不能使用26個以上的字母，爲了克服這個困難，可以在文字下面加上數字標註，
若兩個矩陣相加或想減，必須二者的行數和列數相同
矩陣的作用並不僅僅在於排列這些元素，當考慮到矩陣的加減乘除運算時，就會了解其重要作用
聯繫方程和矩陣
數學上新的形式或符號的出現，往往能給巨大的進步奠定基礎
拉普拉斯說過，在數學上發明了優越的符號，就意味着勝利了一半，矩陣的符號就是顯著的一例
因此聯繫方程寫成AX=B,就可以把它當做我們已經掌握的ax=b那樣來考慮了（利用已有的基礎）
解
一次聯繫方程的根等於兩個行列式的商，這個公式叫克萊默公式，對於n元聯力同樣成立
“監獄風雲”中的經濟學
經濟學習是用來分析市場規則的一門學問，身處在市場經濟中每個人都有必要了解一下經濟學，最近想看看發哥的經典電影先把英雄本色123看了一遍，緊接着開始看監獄風雲其中正好在聽薛兆豐的經濟課有一集談到戰俘營，類似於監獄風雲裏面的情節，監獄裏面受到很多限制難道也存在經濟學規則嗎？
在裏面犯人每天干活可以掙些工錢但是很少，發哥每次都會買零食和香菸，香菸一般在裏面貌似很奢侈，由於裏面人很多每個人的需求不一樣，開始可能利用人情之間的關係可以接濟一點，如你實在餓了，旁邊的獄友可能會把自己的吃的用的分給你點，但這並不能長久，需要交易規則來實現，有交易就會產生對貨幣（一種衡量物質價值的物品）的需求，有貨幣就有優幣、劣幣的現象，你是否看到他們拿到香菸有時還會說帶把的，說明這是優幣啊，有了貨幣就有宏觀經濟的波動，通貨緊縮，通貨膨脹，有交易就會有信息不對稱，有不對稱就有中間商，有人在的地方就有情緒、輿論、外部性，當裏面物價飛漲時獄友們採用絕世來抗議
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通貨膨脹
例如每次家屬見面日或其他渠道某些人搞到大量的香菸或錢，會給監獄中目前流通的香菸造成衝擊，相當於貨幣在不斷增多大於了實際需求，購買力自然下降以前一個香菸可以換一個泡麪，現在可能得兩根香菸，相反香菸都抽完了時也會造成通貨緊縮 -
跨境貿易
例如兩個監獄之間人們之間應該都不認識、也不太熟悉，那麼他們之間怎麼進行物品交換呢，他們之間可能物資所需不同，如果想交易控制這兩個監獄的老大可能就要收取一些好處，這種範圍的跨境貿易即產生了