ref： https://blog.csdn.net/u012421852/article/details/79594933
矩陣的跡概念
矩陣的跡 就是 矩陣的主對角線上所有元素的和。
矩陣A的跡，記作tr(A)，可知tra(A)=∑aii，1<=i<=n。
定理：tr(AB) = tr(BA)
證明
定理：tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)
這個是tr(AB)=tr(BA)的推廣定理，很容易證明。
根據定理tr(AB)=tr(BA)可知：
tr(ABC)=tr((AB)C)=tr(CAB)
tr(ABC)=tr(A(BC))=tr(BCA)
所以tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)
這個定理的實質就是：ABC的各種循環形式的矩陣乘函數的跡都相等，如下解釋：
ABC的循環形勢有三種：ABC、BCA，CAB。
就是從ABCABC中依次取以A,B,C開頭且含有A、B、C的依次是：ABC、BCA、CAB，他們三個的跡相等~
定理：tr(A)=tr(A')，其中這裏的A'表示A的轉置矩陣
不能更容易證明了，矩陣轉置不改變矩陣的主對角線上的所有元素，所以A和A的轉置矩陣的跡一定相等。
定理：d(tr(XB))=d(tr(BX))=B'
即：XB矩陣乘函數的跡對X求導 結果等於矩陣B的轉置
證明
定理：d(tr(X'B)) = d(tr(BX'))=B
即:X'B的矩陣乘函數的跡對X求導等於矩陣B
證明：
定理：如果a∈實數，則有tr(a)=a
證明：把a當做一個1×1的矩陣，所以tr(a)=a
定理：dtr(X) = I(單位矩陣)
dtr(X)表示，矩陣X的跡對矩陣X自己求導等於單位矩陣I
定理：dtr(A'XB')=dtr(BX'A)=AB
證明：
因爲tr(A'XB')=tr(A'XB')'=tr(BX'A)=tr(ABX')
所以dtr(A'XB')=dtr(BX'A)=dtr(ABX')
又因爲dtr(ABX')=AB
所以dtr(A'XB')=dtr(BX'A)=AB
定理：d(tr(AXBX'))=AXB + A'XB'
證明：
定理：dtr(AXBX)=A'X'B'+B'X'A'
證明
(end)